Satz von Mordell-Weil

Der Satz von Mordell-Weil ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Er besagt, dass für eine abelsche Varietät ${\displaystyle A}$ über einem Zahlkörper ${\displaystyle K}$ die abelsche Gruppe ${\displaystyle A(K)}$ der ${\displaystyle K}$-rationalen Punkte endlich erzeugt ist.

Den Spezialfall, dass ${\displaystyle A}$ eine elliptische Kurve ${\displaystyle E(K)}$ und ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ der Körper der rationalen Zahlen ist, nennt man Satz von Mordell nach Louis Mordell, der ihn 1922 bewies. Henri Poincaré hatte 1901 die Frage gestellt, welche Werte der Rang von ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ annehmen kann.

Die Verallgemeinerung wurde von André Weil in seiner 1928 veröffentlichten Doktorarbeit bewiesen.

Sei ${\displaystyle K}$ ein Zahlkörper, also eine endliche Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle A}$ eine abelsche Varietät, also eine algebraische Varietät, die zugleich die Struktur einer abelschen Gruppe trägt und einigen weiteren Zusatzeigenschaften. Ein Beispiel hierfür sind elliptische Kurven. Dann ist die Gruppe ${\displaystyle A(K)}$ der Punkte von ${\displaystyle A}$, die über ${\displaystyle K}$ definiert sind, endlich erzeugt.

Aus dem Satz folgt, dass die Mordell-Weil-Gruppe ${\displaystyle A(K)=A_{tors}\oplus P_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P_{r}\mathbb {Z} }$ ist, wobei die Torsionsgruppe ${\displaystyle A_{tors}}$ eine endliche abelsche Gruppe (die Gruppe der Torsionspunkte) und r der Rang der Mordell-Weil-Gruppe (mit Erzeugenden ${\displaystyle P_{1},\cdot \cdot \cdot ,P_{r}\in A(K)}$) ist. Diese Struktur ergibt sich allgemein nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.

Um den Satz für elliptische Kurven zu zeigen, beweist man zunächst den sogenannten schwachen Satz von Mordell-Weil. Dieser besagt, dass für jede ganze Zahl ${\displaystyle m\geq 2}$ die Gruppe ${\displaystyle E(K)/mE(K)}$ endlich ist. Den Satz von Mordell-Weil erhält man hieraus mit Hilfe von Höhenfunktionen und einem Abstiegsargument.

• Nach dem Satz von Mordell-Weil hat die Gruppe der rationalen Punkte einer elliptischen Kurve endlichen Rang, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer gibt ein Verfahren an, wie man diesen bestimmen kann.
• Allgemeiner kann man auch nach der Anzahl der rationalen Punkte einer algebraischen Kurve fragen. Nach einer inzwischen bewiesenen Vermutung von Mordell ist diese endlich für Kurven mit Geschlecht 2 oder höher (das heißt für ihren Rang gilt ${\displaystyle r=0}$).

• André Weil: L’arithmétique sur les courbes algébriques. Acta Math 52, 1929, S. 281–315.
• Louis Mordell: On the rational solutions of the indeterminate equation of the 3rd and 4th degrees. Proc. Cambridge Philosophical Society, Bd. 21, 1922, S. 179–192.
• Joseph Silverman: The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4.
• Jean-Pierre Serre: Lectures on the Mordell-Weil theorem. Vieweg, 1997, ISBN 978-3-528-28968-3.

• Eric W. Weisstein: Mordell-Weil Theorem. In: MathWorld (englisch).