Satz von Mohr-Mascheroni

Der Satz von Mohr-Mascheroni aus der synthetischen Geometrie besagt, dass jede Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden kann, bereits mit Zirkel alleine möglich ist. Benannt ist er nach den Mathematikern Georg Mohr und Lorenzo Mascheroni, die ihn unabhängig voneinander bewiesen. Er ist damit das Pendant des Satzes von Poncelet-Steiner.

Erstmals bewiesen wurde der Satz 1672 von Georg Mohr. Sein Beweis geriet aber in Vergessenheit, sodass der Satz 1797 erneut von Lorenzo Mascheroni bewiesen wurde. Erst später wurde Mohrs Beweis durch Johannes Hjelmslev wiederentdeckt und der Satz nach den beiden Mathematikern benannt. Es folgte eine Reihe von wesentlich einfacheren Beweisen. Die meisten dieser Beweise sind elementargeometrisch, von Jean-Claude Carrega stammt ein algebraischer Beweis der Aussage.

Der Satz besagt Folgendes: Gibt es – ausgehend von einer vorgegebenen Menge von Punkten – ein Konstruktionsverfahren, das durch die wiederholte Anwendung der elementaren Konstruktionen 1 bis 5 einen Punkt P konstruiert, so gibt es auch ein Verfahren, das aus derselben Ausgangslage den Punkt P konstruiert, dabei aber nur die Konstruktionen 2 und 5 benutzt. Die elementaren Konstruktionen sind:

1. Zu zwei (gegebenen oder konstruierten) Punkten kann die Gerade durch diese beiden Punkte konstruiert werden.
2. Zu zwei Punkten kann der Kreis konstruiert werden, der seinen Mittelpunkt im ersten Punkt hat und auf dessen Umfang der zweite Punkt liegt.
3. Zu zwei Geraden lässt sich der Schnittpunkt konstruieren (sofern die Geraden nicht parallel sind).
4. Zu einer Geraden und einem Kreis lassen sich die Schnittpunkte konstruieren (sofern sie existieren), bzw. der Berührpunkt.
5. Zu zwei Kreisen lassen sich die Schnittpunkte bzw. der Berührpunkt konstruieren.

Die meisten Beweise laufen darauf hinaus, Konstruktionsverfahren anzugeben, wie der Schnittpunkt zweier Geraden bzw. die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis mit dem Zirkel allein bestimmt werden können, wobei die Geraden nur durch zwei Punkte gegeben sind. Die folgende Beweisidee macht sich dabei die Inversion am Kreis zu Nutze und geht auf August Adler (1863–1923) zurück.^[1][2] Die Inversion am Kreis hat die Eigenschaft, dass sie Geraden und Kreise, die nicht durch das Inversionszentrum gehen, auf Kreise abbildet. So kann die Schnittpunktbestimmung auf den Schnitt zweier Kreise zurückgeführt werden, welcher direkt konstruiert werden kann.

August Adler erklärt in seinem Buch Theorie der geometrischen Konstruktionen aus dem Jahr 1906 u. a. drei Konstruktionen von Mascheroni aus dessen Werk La geometria del compasso, Pavia 1797, die alleinig unter Verwendung eines Zirkels erstellt wurden.

• Um die Länge der Strecke │AB│ in z. B. drei Teile zu teilen bedarf es der Konstruktion des Punktes C,^[3] der gemeinsam mit den gegebenen Punkten A und B (siehe Bild) auf einer virtuellen Linie liegt.

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Ziehen des Kreises k um den Punkt A mit dem Radius r = │AB│.

Die folgenden fünf Kreisbögen mit dem gleichen Radius r um die Punkte B, E, F, G und H erzeugen den Schnittpunkt C mit dem Abstand │AC│ = 3 · │AB│.

Nun wird um C ein Kreisbogen mit dem Radius r₁ = │AC│ gezogen, die Schnittpunkte sind D und D'.

Die abschließenden Kreisbögen um die Punkte D und D', jeweils mit dem Radius r = │AB│, schneiden sich in X und liefern somit │AX│ = 1/3 · │AB│.

Durch die Teilung der Strecke AB in zwei gleiche Teile wird deren Mitte bestimmt.^[3]

• Das im nebenstehenden Bild eingetragene farbige Dreieck ist für die Lösung der Aufgabe nicht erforderlich, es soll lediglich die mathematischen Zusammenhänge veranschaulichen.

Konstruktionsbeschreibung

Zuerst wird um den Punkt A der Strecke AB der Kreisbogen k₁ mit dem Radius AB eingezeichnet.

Der nächste Kreisbogen k₂, um den Punkt B mit dem Radius AB, bringt die Schnittpunkte E und E'.

Der Kreisbogen k₃ um den Punkt E, durch den Punkt E' mit dem Radius │EE'│, ergibt auf k₂ den Schnittpunkt C.

Es folgt der Kreisbogen k₄ um den Punkt C, durch den Punkt A mit dem Radius │CA│, er erzeugt die Schnittpunkte D und D'.

Nun zieht man den Kreisbogen k₅ um den Punkt D', durch den Punkt A mit dem Radius │D'A│.

Der abschließende Kreisbogen k₆ um den Punkt D, durch den Punkt A mit dem Radius │DA│ liefert den Schnittpunkt X, der die gesuchte Mitte der Strecke AB markiert.

• Diese Konstruktion ist auch für die Bestimmung der Mitte eines Abstandes zweier Punkte anwendbar.

Es sind die Schnittpunkte zweier Geraden A B und C D zu bestimmen durch bloßes Schlagen von Kreisbögen.^[4]

Konstruktionsbeschreibung

Die vier gegebenen Punkte A B C und  D definieren die Gerade g₁ bzw. die Gerade g₂.

1. Die an der Geraden g₁ gespiegelten Punkte C und D werden als C₁ und D₁ auf eine imaginäre Gerade projiziert, die ebenfalls die beiden Geraden g₁ und g₂ im gesuchten Schnittpunkt X (Kreisspiegelung eines Punktes) kreuzt.

Es beginnt mit dem Kreis um den Punkt A mit Radius │AC│. Der darauf folgende Kreis um Punkt B mit Radius │BC│ bringt C₁ als Spiegelung es Punktes C. Der Kreis um A mit Radius │AD│ und der um B mit Radius │BD│ schneiden sich im Punkt D₁; damit ist auch D an g₁ gespiegelt. Der Punkt C" ergibt sich aus dem Kreis mit Radius │DC│ um D₁ und dem Kreis mit Radius │DD₁│ um C. Die Konstruktionsskizze zeigt nun die Abstände der Punkte auf imaginären Geraden mit den Eigenschaften: │CC"│=│DD₁│ und │D₁C"│=│DC│; infolgedessen sind │D₁C"│ und │DC│ zueinander parallel. Es gilt daher die Proportion:^[4]

│C₁X│:│C₁D₁ = C₁C│:│C₁C"│.

2. Wird die sogenannte vierte geometrische Proportionale │C₁X│ = x  zu den nun bekannten drei Streckenlängen │C₁C"│ = a, │C₁C│ = b und │C₁D₁ │ = c ermittelt, ist sie durch zwei Kreisbogen um die Punkte C₁ und C auf │C₁D₁ │ abzutragen.^[5]

Nach dem Ziehen der beiden konzentrischen Kreise um C₁ mit den Radien │C₁C"│  = a und │C₁C│ = b wird der Punkt E beliebig und der Punkt F mit │EF│ = c auf dem Kreis mit Radius a bestimmt. Der Kreisbogen um F mit Radius b erzeugt Punkt G auf dem Kreis mit Radius b. Der Punkt H auf dem Kreis mit Radius b ergibt sich mittels Kreisbogen um E mit Radius b und erzeugt den Abstand │HG│ mit der gesuchten Länge x. Zwei abschließend gezogene Kreisbögen mit dem Radius x, um die Punkte C₁ und C, liefern den gesuchten Schnittpunkt X der Geraden g₁ mit g₂.^[6]

Konstruktionsbeschreibung^[2]

Es beginnt mit dem Festlegen des Punktes O auf dem Kreis k₁, seine Position ist frei wählbar.

Um den Punkt O wird der Kreisbogen k₂ mit einem beliebigen Radius gezogen, es ergeben sich die Schnittpunkte A und B. Damit sich diese Schnittpunkte ergeben bzw. verwertbar sind, muss der Radius │OA│ größer als die Hälfte des Radius vom Kreis k₁ und kleiner als dessen Durchmesser sein.

Es folgt der Kreisbogen k₃ um den Punkt B mit dem Radius │BO│.

Der nächste Kreisbogen k₄, um den Punkt A mit dem Radius │AO│, bringt den Schnittpunkt C.

Der Kreisbogen k₅, um den Punkt C und durch den Punkt O mit dem Radius │CO│, erzeugt die Schnittpunkte S₁ und S₂.

Nun zieht man den Kreisbogen k₆ um den Punkt S₂ durch den Punkt O mit dem Radius │S₂O│.

Der abschließende Kreisbogen k₇ um den Punkt S₁, durch den Punkt O mit dem Radius |S₁O│ liefert den Schnittpunkt X, der den gesuchten Mittelpunkt des Kreises k₁ markiert.

Man verwandle den Kreis K [k] durch Inversion in eine Gerade g und suche dann umgekehrt den Mittelpunkt jenes Kreises, welcher g in dieser Inversion entspricht.^[7]

Konstruktionsbeschreibung

1. Spiegelung des Punktes C am Inversionskreis k (Kreisspiegelung eines Punktes)

Von den gegebenen Punkten A, B und C dient A als Mittelpunkt des Inversionskreises k (rot) mit Radius │AB│. Die Schnittpunkte F und G auf dem Inversionskreis k entstehen durch den Kreis um C mit Radius │CA│.^[8] Je ein Kreisbogen mit Radius │AB│ durch A, um die Punkte F und G, liefert D als Spiegelung des Punktes C sowie die durch B und D verlaufende imaginäre Gerade g.

2. Spiegelung des Punktes A an der Geraden g (Kreisspiegelung einer Geraden)

Der Kreis mit Radius │BA│ um Punkt B und der Kreis mit Radius │DA│ um D erzeugen den Punkt E als Spiegelung des Punktes A an der Geraden g.

3. Spiegelung des Punktes E am Inversionskreis k (Spiegelung eines Punktes).

Der Kreis mit Radius │EA│ um Punkt E erzeugt die Punkte H und I auf dem Inversionskreis k. Je ein Kreisbogen mit Radius │AB│ durch A, um die Punkte H und I, liefert den Mittelpunkt X des gesuchten Kreises. Somit ist X die Spiegelung des Punktes E am Inversionskreis k. Nun bedarf es noch des Ziehens eines Kreises um den konstruierten Mittelpunkt X durch die Punkte seines Umfanges A, B und C.

Hat man demnach den Bogen A B mit Hilfe des Zirkels allein zu halbieren, so geht man folgendermaßen vor (Fig. 70 b): [...]^[9]

Konstruktionsbeschreibung

(Der Beschreibung von August Adler nachempfunden)

Nach dem Ziehen ein Kreises mit beliebigem Radius r um den Mittelpunkt O, wird der zu halbierende Kreisbogen O B A (hellgrün) eingetragen. Die beiden Kreise mit Radius r um Punkt A und B und der Kreis mit Radius │AB│ (gleich Länge der Sehne d) um den Mittelpunkt O erzeugen C und D. Der Punkt E entsteht als Schnittpunkt der beiden Kreise mit Radius │CB│ um die Punkte C und D. Der abschließende Kreis um den Punkt D mit Radius │OE│ halbiert in F bzw. G die beiden Kreisbögen O B A (hellgrün) und O A B.

Das Fünfeck ist Beispiel für die Anwendung folgender Konstruktionsbausteine:

  Die Halbierung des Kreisbogens

  Konstruktion der Fünf- und Zehneckseite ^[10]

• Das im nebenstehenden Bild eingetragene farbige Fünfeck ist nicht Teil der Lösung (alleinige Verwendung des Zirkels), es soll lediglich der Veranschaulichung dienen.

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Festlegen des Radius │AO│ für den Kreis, der anschließend um seinen Mittelpunkt O gezogen wird.

Nun werden ab dem Punkt A hintereinander vier Kreisbögen mit dem Radius │AO│ auf dem Kreis abgetragen, es ergeben sich die Schnittpunkte B, C, D und E.

Nach Adler folgt jetzt Die Halbierung des Kreisbogens A, B (im nebenstehenden Bild: Kreisbogen OCB):

Hierfür wird zuerst um die Punkte D und A je ein Kreisbogen mit dem Radius │DB│ gezeichnet, dabei wird der Schnittpunkt G generiert.

Nun werden um die Punkte C und E je ein Kreisbogen mit dem Radius │OG│ gezogen, es ergibt den Schnittpunkt K. Der anschließende Kreisbogen mit dem Radius │OG│ um den Punkt A halbiert den Kreisbogen OCB im Punkt P₁. Der damit erzeugte Abstand │P₁K│ ist die Seitenlänge des Fünfecks.

Abschließend noch die Seitenlänge │P₁K│ fünfmal auf dem Kreis abtragen, danach bilden die Punkte P₁, P₂, P₃, P₄ und P₅ auf dem Kreis ein regelmäßiges Fünfeck.

Eine der bekanntesten Konstruktionen von Mascheroni zeigt die Lösung des sogenannten Problem von Napoleon. Darin wird eine gegebene Kreislinie k mit ihrem Mittelpunkt M, unter alleiniger Verwendung eines Zirkels in vier gleichlange Kreisbögen unterteilt,^[11] indem man sozusagen den Wert ${\displaystyle r{\sqrt {2}}}$ der Diagonalen des Quadrates mit der Seitenlänge r konstruiert.

• Die im nebenstehenden Bild eingetragenen gepunkteten Linien sowie das farbige Dreieck sind für die Lösung der Aufgabe nicht erforderlich, sie sollen lediglich die mathematischen Zusammenhänge veranschaulichen.

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Kreislinie k mit einem beliebigen Radius r um den Mittelpunkt M. Nach dem Festlegen des Punktes A auf k wird der Radius r dreimal mithilfe kurzer Kreisbögen auf k abgetragen, dabei ergeben sich die Punkte B, C und D. Die Punkte ADC sind Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse 2r und der kleinen Kathete r. Nach dem Satz von Pythagoras ergibt sich daraus für die größere Kathete der Wert ${\displaystyle r{\sqrt {3}}.}$ Diese Länge, sprich Strecke AC, wird nun in den Zirkel genommen und damit jeweils ein kurzer Kreisbogen um Punkt A ab C bzw. um Punkt D ab B geschlagen. Die beiden Kreisbögen erzeugen den Schnittpunkt E. Die Punkte AME sind Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse ${\displaystyle r{\sqrt {3}}}$ und der kleinen Kathete r. Mithilfe des Satzes von Pythagoras ergibt sich infolgedessen für die größere Kathete der Wert ${\displaystyle r{\sqrt {2}}.}$ Dies ist auch der Wert der gesuchten Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge r. Abschließend bedarf es noch eines Kreisbogens um den Punkt D mit dem Radius ${\displaystyle r{\sqrt {2}}}$ (Strecke ME), der die Kreislinie k in den Punkten F und G schneidet. Somit unterteilen die Kreisbögen MAG, MGD, MDF und MFA die Länge der Kreislinie k in vier gleichlange Teile.

• Georg Mohr: Euclides danicus. Amsterdam, 1672.
• Lorenzo Mascheroni: Geometrie du compas. Pavia, 1797. (online in der Google-Buchsuche)
• Jean-Claude Carrega: Théorie des corps – La règle et le compas. Editions Hermann, Paris, 2001, ISBN 978-2-7056-1449-2.
• Norbert Hungerbühler: A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem. (JSTOR:2974536)

• Siebzehneck nach L. Gérard

• Eric W. Weisstein: Mascheroni Construction. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 20. Anwendung des Prinzipes der reziproken Radien, S. 111–112, Fig. 91., S. 125–126 (Textarchiv – Internet Archive). 
2. ↑ ^{a b} August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 20. Anwendung des Prinzipes der reziproken Radien, S. 119, Fig. 96., S. 133 (Textarchiv – Internet Archive). 
3. ↑ ^{a b} August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 16. Vervielfachen und Teilen von Strecken, S. 97–98, Fig. 73., S. 111–112 (Textarchiv – Internet Archive). 
4. ↑ ^{a b} August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 19. Schnitt von geraden Linien mit Kreisen oder Geraden., Aufgabe 156. (Fig. 88) S. 109, S. 122 (Textarchiv – Internet Archive). 
5. ↑ Druckfehler: (Aufgabe 145) heißt richtig (Aufgabe 149)
6. ↑ August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 18. Konstruktion der Proportionalen., Aufgabe 149. (Fig. 82) S. 104, S. 117 (Textarchiv – Internet Archive). 
7. ↑ August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, Übungsaufgabe 160. Von einem Kreis kennt man drei Punkte A, B, C seines Umfanges; es ist der Mittelpunkt dieses Kreises zu konstruieren. S. 119, S. 133 (Textarchiv – Internet Archive). 
8. ↑ Für eine bessere Übersichtlichkeit ist es vorteilhaft davon nur kurze Kreisbögen einzuzeichnen.
9. ↑ August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, § 15. Teilung des Kreises in eine Anzahl gleicher Teile, 2. Die Halbierung des Kreisbogens AB (Fig. 70 b) S. 93–94, S. 108 (Textarchiv – Internet Archive). 
10. ↑ August Adler: Theorie der geometrischen Konstruktionen. G. J. Göschensche Verlagshandlung, Leipzig 1906, III. Abschnitt, Mascheronische Konstruktionen, §15. 3. Konstruktion der Fünf- und Zehneckseite, S. 94–95, Fig. 71., S. 108–109 (Textarchiv – Internet Archive). 
11. ↑ Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution Problem und Satz von Napoleon mit Variationen, S. 15. (PDF) In: Didaktik der Mathematik. Bayerischer Schulbuch-Verlag München, 1990, S. 29, abgerufen am 8. Juni 2018.