Satz von Markow

Der Satz von Markow ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie, er gibt hinreichende und notwendige Bedingungen, wann die Abschlüsse zweier Zöpfe äquivalente Verschlingungen ergeben.

Markow-Züge

Markow-Zug vom Typ I

Markow-Zug vom Typ II

Das Bild rechts zeigt die beiden Typen von Markow-Zügen, welche jeweils ein Zopf-Diagramm in ein anderes überführen.

• Markow-Zug vom Typ I (Konjugation): In der Zopfgruppe ${\displaystyle B_{n}}$ entspricht dieser Zug Konjugation mit einem Wort ${\displaystyle b\in B_{n}}$, ein Zopf ${\displaystyle ab}$ wird also in den Zopf ${\displaystyle ba}$ überführt.
• Markow-Zug vom Typ II (Stabilisierung): In der Zopfgruppe ${\displaystyle B_{n}}$ entspricht dieser Zug der Multiplikation eines Elementes aus ${\displaystyle B_{n-1}\subset B_{n}}$ mit dem Erzeuger ${\displaystyle \sigma _{n-1}}$ oder seinem Inversen ${\displaystyle \sigma _{n-1}^{-1}}$. Die Umkehroperation heißt Destabilisierung.

Satz von Markow

Die Abschlüsse zweier Zöpfe sind genau dann äquivalente Verschlingungen, wenn die entsprechenden Elemente der Zopfgruppe durch eine Folge von Konjugationen und Stabilisierungen/Destabilisierungen ineinander überführt werden können. (Äquivalent: wenn die entsprechenden Zopf-Diagramme durch eine Folge von Markow-Zügen und Isotopie von Zopf-Diagrammen ineinander überführt werden können.)

Anwendungen

Quanteninvarianten von Knoten und Verschlingungen werden mit Hilfe einer Darstellung der Verschlingung als Abschluss eines Zopfes definiert. Um die Wohldefiniertheit der Knoteninvarianten zu beweisen, ist in jedem Fall die Invarianz der jeweiligen Invariante unter Markow-Zügen zu überprüfen.

Literatur

• H. Morton: Threading knot diagrams. Math Proc. Camb. Phil. Soc. 99 (1986), S. 247–260.
• N. M. Weinberg: On free equivalence of free braids. C.R. (Dokl.) Acad. Sci. USSR, 23 (1939) S. 215–216. (Russisch)
• Joan Birman: Braids, Links and Mapping Class Groups. Annals of Math. Studies 82 (1974).
• S. Lambropoulou, C. Rourke: Markov's theorem in 3-manifolds. Topology and its Applications 78, Nos. 1–2 (1997), S. 95–122.
• Joan Birman, William Menasco: On Markov's theorem. Knots 2000 Korea, Vol. 1 (Yongpyong). J. Knot Theory Ramifications 11 (2002), no. 3, S. 295–310 (online).
• A. A. Markov: Ũber die freie Äquivalenz geschlossener Zöpfe. Recueil Mathématique Moscou, 1 (1935), S. 73–78.
• P. Traczyk: A new proof of Markov's braid theorem. Knot Theory, Banach Center Publications 42, Polish Acad. of Sciences (1998), S. 409–419.

Weblinks

• Markov's Theorem (MathWorld)
• Markov Moves (MathWorld)
• Markov braid theorem (Encyclopedia of Mathematics)