Satz von Malgrange-Ehrenpreis

Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis ist ein Existenzsatz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Er sichert die Existenz einer Greenschen Funktion für lineare partielle Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Der Satz wurde Mitte der 1950er Jahre unabhängig von Bernard Malgrange^[1] und Leon Ehrenpreis^[2][3] gefunden.

Begriffe

Ein linearer, partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten entsteht aus einem Polynom ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten, indem für die ${\displaystyle i}$-te Unbestimme die partielle Ableitung ${\displaystyle D_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ eingesetzt wird. Ist

${\displaystyle P=P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=0}^{N}\beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}x_{1}^{j_{1}}\ldots x_{n}^{j_{n}}}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle \beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\in \mathbb {C} }$, wobei die obere Summationsgrenze ${\displaystyle N}$ eine feste natürliche Zahl ist, so ist

${\displaystyle P(D)=P(D_{1},\ldots ,D_{n})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=0}^{N}\beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}{\frac {\partial ^{j_{1}}}{\partial x_{1}^{j_{1}}}}\ldots {\frac {\partial ^{j_{n}}}{\partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

und die partielle Differentialgleichung

${\displaystyle P(D)u=f}$

bei vorgegebener rechter Seite ${\displaystyle f}$ heißt lineare, partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, da die Koeffizienten ${\displaystyle \beta _{j_{1},\ldots ,j_{n}}}$ keine Funktionen der Variablen, sondern Konstanten sind. Die Wellengleichung und die Poisson-Gleichung sind typische Beispiele.

Obige Differentialgleichung ist nun nicht nur für Funktionen, sondern auch für Distributionen sinnvoll. Nimmt man als rechte Seite die Delta-Distribution, so heißt eine Distributionslösung ${\displaystyle G}$ der Gleichung eine Greensche Funktion, auch wenn es sich nicht um eine klassische Funktion handelt. Ist nun ${\displaystyle f}$ irgendeine rechte Seite und kann man die Faltung ${\displaystyle G*f}$ bilden, so ist ${\displaystyle u=G*f}$ wegen der konstanten Koeffizienten eine Lösung von ${\displaystyle P(D)u=f}$.

Daher gilt die Differentialgleichung mit dem Auffinden einer Greenschen Funktion als gelöst. Das unterstreicht die Bedeutung des folgenden Satzes:

Formulierung des Satzes

Satz von Malgrange-Ehrenpreis: Es sei ${\displaystyle P(D)}$ ein linearer, partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Dann besitzt die zugehörige partielle Differentialgleichung eine Greensche Funktion.^[4][5]

Bemerkungen

Die ursprünglichen Beweise verwendeten den Satz von Hahn-Banach und waren daher nicht-konstruktiv. Mittlerweile sind auch konstruktive Beweise bekannt.^[6]

Naheliegende Verallgemeinerungen auf lineare, partielle Differentialgleichungen mit nicht-konstanten Koeffizienten gelten nicht, wie das Beispiel von Lewy belegt.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernard Malgrange: Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution., Ann. Inst. Fourier, Band 6 (1955–1956), Seiten 271–355
2. ↑ Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. I. Division by a polynomial of derivation., Amer. J. Math., Band 76 (1954), Seiten 883–903
3. ↑ Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. II. Division by a punctual distribution., Amer. J. Math., Band 77 (1955), Seiten 286–292
4. ↑ Milan Miklavcic: Applied Functional Analysis and Partial Differential Equations, World Scientific Pub Co (1998), ISBN 981-02-3535-6, Theorem 3.3.4
5. ↑ Kosaku Yosida: Functional Analysis. Classics in Mathematics., Springer-Verlag (1995), ISBN 3-540-58654-7, Kapitel VI, Abschnitt 10: The Malgrange-Ehrenpreis Theorem
6. ↑ Peter Wagner: A new constructive proof of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, Amer. Math. Monthly, Band 116 (2009), Seiten 457–462