Satz von Malcev

Als Satz von Malcev wird in der Mathematik ein grundlegender Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bezeichnet.

Satz von Malcev

Jede endlich erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset GL(n,\mathbb {C} )}$ ist residuell endlich, das heißt zu jedem ${\displaystyle a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}}$ gibt es einen Homomorphismus ${\displaystyle \phi \colon \Gamma \rightarrow F}$ auf eine endliche Gruppe ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle \phi (a)\not =1}$. (Äquivalent: zu jedem ${\displaystyle a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}}$ gibt es eine Untergruppe von endlichem Index ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }\subset \Gamma }$ mit ${\displaystyle a\notin \Gamma ^{\prime }}$.)

Dieser Satz wird auch als Lemma von Selberg bezeichnet, obwohl er zuerst von Malcev bewiesen wurde.

Eine topologische Interpretation: Sei ${\displaystyle M}$ eine 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner ein nach ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)}$ oder ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)}$ modellierter lokal symmetrischer Raum), dann gibt es zu jeder geschlossenen Kurve ${\displaystyle \gamma \subset M}$ eine endliche Überlagerung ${\displaystyle {\widehat {M}}\to M}$, in der die hochgehobene Kurve ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ nicht geschlossen ist.

Literatur

• A. Malcev: On isomorphic matrix representations of infinite groups. In: Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. Band 8, Nr. 50, 1940, S. 405–422. (russisch)

Weblinks

• Nica: Linear groups - Malcev's theorem and Selberg's lemma
• Wilton: Residual finiteness