Satz von Lumer-Phillips

Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein in ${\displaystyle X}$ dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ von ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe, also ${\displaystyle \|e^{tA}\|\leq 1}$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$, genau dann, wenn für ein ${\displaystyle \lambda >0}$ das Bild von ${\displaystyle \lambda -A}$ dicht in ${\displaystyle X}$ liegt.

Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

Folgerungen

• Sei ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum ${\displaystyle X}$. Sind sowohl ${\displaystyle A}$ als auch die Adjungierte ${\displaystyle A^{*}}$ dissipativ, erzeugt der Abschluss von ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe.
• Ist ${\displaystyle (A,D(A))}$ ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum ${\displaystyle X}$ und liegt das Bild von ${\displaystyle \lambda -A}$ dicht in ${\displaystyle X}$, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ von ${\displaystyle A}$ dicht in ${\displaystyle X}$. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass ${\displaystyle {\overline {A}}}$ eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

• Betrachtet man auf ${\displaystyle X:=L^{2}([0,1],\mathbb {R} )}$ (siehe ${\displaystyle L^{p}}$-Raum) den Laplace-Operator ${\displaystyle Au:=u''}$ mit Dirichlet-Randbedingung, also ${\displaystyle D(A):=\{u\in H^{2}([0,1],\mathbb {R} ):u(0)=u(1)=0\}}$, so ist ${\displaystyle A:D(A)\rightarrow X}$ invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration ${\displaystyle \langle Au,u\rangle =\int _{0}^{1}u''u\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{1}u'u'\,\mathrm {d} x\leq 0}$. Somit erzeugt ${\displaystyle A}$ eine Kontraktionshalbgruppe.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.