Satz von Kurepa

Der Satz von Kurepa (englisch Theorem of Kurepa) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Mengenlehre. Er geht zurück auf den jugoslawischen Mathematiker Đuro Kurepa.^[1][2][3]

Der Satz beinhaltet eine logisch äquivalente Formulierung des Auswahlaxioms in der Sprache der Ordnungstheorie.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kurepa lässt sich wie folgt formulieren:^[4][1][2]

Das Auswahlaxiom ist logisch äquivalent mit der Bedingung, dass jedes der beiden folgenden Prinzipien ( ${\displaystyle {V}}$  ) und  ${\displaystyle ({\overline {K}})}$   Gültigkeit hat:

 ${\displaystyle (V)}$    : Auf jeder Menge   ${\displaystyle X}$   existiert eine lineare Ordnung   ${\displaystyle \leq }$.

 ${\displaystyle ({\overline {K}})}$  : Jede Antikette einer jeden teilweise geordneten Menge ${\displaystyle (X,\leq )}$ ist in einer bezüglich ${\displaystyle \subseteq }$ maximalen Antikette enthalten.

In formelhafter Kurzdarstellung lässt sich der Satz auch so angeben:

Auswahlaxiom   ${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle ({V})\land ({\overline {K}})}$

Literatur

Originalarbeiten

• G. Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. Band 126, 1953, S. 381–384 (MR0058686). 

Monographien

• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie Matematyczne. Band 34). 2. Auflage. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1965 (MR0194339). 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8, S. 206 ff. (MR2127991). 

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Harzheim: S. 52.
2. ↑ ^{a b} Sierpiński, S. 428
3. ↑ Oft auch unter dem Namen Đuro Kurepa genannt oder (meist im englischen Sprachraum) unter Djuro Kurepa; kyrillisch Ђуро Курепа (* 16. August 1907; † 2. November 1993) – Dura Kurepa. history.mcs.st-andrews.ac.uk
4. ↑ Kurepa: Über das Auswahlaxiom. In: Math. Ann. Band 126, 1953, S. 381.