Satz von Kunugui

Der Satz von Kunugui besagt, dass sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.

Formulierung

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum. Falls ${\displaystyle X=\emptyset }$ leer ist, so lässt sich ${\displaystyle X}$ trivial einbetten, andernfalls sei ${\displaystyle s\in X}$ ein fest gewählter Punkt. Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ sei nun durch ${\displaystyle f_{x}(y):=d(x,y)-d(y,s)}$ eine reelle Funktion auf ${\displaystyle X}$ erklärt. Dann ist die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto f_{x}}$ eine Isometrie von ${\displaystyle (X,d)}$ in den Banachraum ${\displaystyle B(X)=\{f\colon X\to \mathbb {R} \mid f{\mbox{ beschränkt}}\}}$ der beschränkten Funktionen.

Anmerkungen

Die obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die ${\displaystyle f_{x}}$ alle (bzgl. der Supremumsnorm) beschränkt sind und, dass die Zuordnung ${\displaystyle x\mapsto f_{x}}$ tatsächlich eine Isometrie ist. Beides folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung. Es gilt per Definition

${\displaystyle \|f_{x}\|=\sup _{y\in X}|f_{x}(y)|=\sup _{y\in X}|d(x,y)-d(y,s)|}$.

Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens ${\displaystyle d(x,s)}$ und da ${\displaystyle s\in X}$ fest gewählt ist, ist ${\displaystyle f_{x}}$ beschränkt. Außerdem gilt für zwei Punkte ${\displaystyle x,x'\in X}$, dass

${\displaystyle \|f_{x}-f_{x'}\|=\sup _{y\in X}|(d(x,y)-d(y,s))-(d(x',y)-d(y,s))|=\sup _{y\in X}|d(x,y)-d(x',y)|}$.

Der letzte Term ist höchsten ${\displaystyle d(x,x')}$ und wenn man für ${\displaystyle y}$ z. B. den Punkt ${\displaystyle x}$ einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit ${\displaystyle \|f_{x}-f_{x'}\|=d(x,x')}$ gilt.

Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand ${\displaystyle d(x,y)}$ den Term ${\displaystyle d(y,s)}$ abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung ${\displaystyle f_{x}\colon X\to \mathbb {R} }$ zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist. Beispielsweise ist der Raum ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ mit der euklidischen Metrik unvollständig – unter anderem konvergiert die Cauchy-Folge ${\displaystyle (1/n)_{n\geq 1}}$ nicht – aber er lässt sich dennoch durch die Inklusion isometrisch in den vollständigen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} }$ einbetten.

Literatur

• Kinjirô Kunugui: Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles. In: Proceedings of the Imperial Academy. 11, 9, 1935, ISSN 0369-9846, S. 351–353.