Satz von Krein-Milman

Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman^[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage

Ist ${\displaystyle E}$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E}$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.^[2]

Der Beweis des Krein-Milman'schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.^[3][4]

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman^[5] bezeichnet wird: Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset E}$ eine kompakte, konvexe Menge und ist ${\displaystyle T\subseteq {\mathcal {C}}}$ so beschaffen, dass ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von ${\displaystyle T}$ ist, so sind in dem topologischen Abschluss von ${\displaystyle T}$ alle Extremalpunkte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ enthalten.^[6]

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen: Hier liegen mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vor.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

Anwendung

Der Banachraum ${\displaystyle c_{0}}$ der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ${\displaystyle x=(x_{n})_{n}}$ ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index ${\displaystyle m}$ mit ${\displaystyle |x_{m}|<{\tfrac {1}{2}}}$, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun ${\displaystyle h=(h_{n})_{n}}$ definiert durch ${\displaystyle h_{n}=0}$ für ${\displaystyle n\not =m}$ und ${\displaystyle h_{m}={\tfrac {1}{2}}}$, so ist ${\displaystyle \|x+h\|_{\infty }\leq 1}$ und ${\displaystyle \|x-h\|_{\infty }\leq 1}$ und ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(x+h)+{\tfrac {1}{2}}(x-h)}$, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt ${\displaystyle x}$ ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von ${\displaystyle c_{0}}$ keine Extremalpunkte und ${\displaystyle c_{0}}$ kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch

• Choquet-Theorie
• Satz von Russo-Dye
• Krein-Milman-Eigenschaft

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
• A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff. 

Einzelnachweise

1. ↑ M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.
2. ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75
3. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 418 ff.
4. ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75 ff.
5. ↑ Diese Umkehrsatz zum Krein-Milman'schen ist nicht mit dem Satz von Milman-Pettis identisch.
6. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 423