Satz von Kegel-Wielandt

In der Mathematik ist der Satz von Kegel-Wielandt ein Lehrsatz aus der Gruppentheorie.

Aussage

Wenn eine endliche Gruppe das Produkt zweier nilpotenter Untergruppen ist, dann ist sie auflösbar.

Geschichte

Philip Hall bewies 1937[1], dass auflösbare endliche Gruppen ein Produkt von Sylow-Untergruppen sind. Insbesondere enthält eine auflösbare Gruppe nilpotente Untergruppen mit für alle und . Die Umkehrung, also dass eine endliche Gruppe unter diesen Annahmen auflösbar ist, wurde 1951 von Helmut Wielandt vermutet.[2] Er zeigte, dass für paarweise vertauschbare nilpotente Gruppen das Produkt auflösbar ist, wenn die Produkte von je zweien unter ihnen auflösbar sind. Die Umkehrung des von Hall bewiesenen Satzes reduzierte sich damit auf die Frage, ob das Produkt zweier vertauschbarer nilpotenter Gruppen auflösbar ist.

Wielandt bewies diese Vermutung zunächst 1958 für den Fall, dass die Ordnungen von und teilerfremd sind[3]. Das allgemeine Problem wurde darauf aufbauend 1961 von Otto Kegel gelöst[4]

Der Satz von Kegel-Wielandt verallgemeinert den Satz von Burnside, demzufolge endliche Gruppen der Ordnung (mit Primzahlen ) auflösbar sind: solche Gruppen sind das Produkt zweier Sylow-Untergruppen, die beide nilpotent sind.

Die entsprechende Frage für unendliche Gruppen ist offen.

Einzelnachweise

  1. P. Hall: On the Sylow systems of a soluble group. Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser. 43, 316–323 (1937).
  2. H. Wielandt: Über das Produkt paarweise vertauschbarer nilpotenter Gruppen. Math. Z. 55, 1–7 (1951).
  3. H. Wielandt: Über Produkte von nilpotenten Gruppen. Ill. J. Math. 2, No. 4B, 611–618 (1958).
  4. O. Kegel: Produkte nilpotenter Gruppen. Arch. Math. 12, 90–93 (1961).