Satz von Kegel-Wielandt

In der Mathematik ist der Satz von Kegel-Wielandt ein Lehrsatz aus der Gruppentheorie.

Aussage

Wenn eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ das Produkt ${\displaystyle G=AB}$ zweier nilpotenter Untergruppen ist, dann ist sie auflösbar.

Geschichte

Philip Hall bewies 1937^[1], dass auflösbare endliche Gruppen ein Produkt von Sylow-Untergruppen sind. Insbesondere enthält eine auflösbare Gruppe ${\displaystyle G}$ nilpotente Untergruppen ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ mit ${\displaystyle G_{i}G_{j}=G_{j}G_{i}}$ für alle ${\displaystyle i,j}$ und ${\displaystyle G=G_{1}\ldots G_{k}}$. Die Umkehrung, also dass eine endliche Gruppe unter diesen Annahmen auflösbar ist, wurde 1951 von Helmut Wielandt vermutet.^[2] Er zeigte, dass für paarweise vertauschbare nilpotente Gruppen ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}}$ das Produkt ${\displaystyle G_{1}\ldots G_{k}}$ auflösbar ist, wenn die Produkte ${\displaystyle G_{i}G_{j}}$ von je zweien unter ihnen auflösbar sind. Die Umkehrung des von Hall bewiesenen Satzes reduzierte sich damit auf die Frage, ob das Produkt ${\displaystyle G=AB}$ zweier vertauschbarer nilpotenter Gruppen auflösbar ist.

Wielandt bewies diese Vermutung zunächst 1958 für den Fall, dass die Ordnungen von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ teilerfremd sind^[3]. Das allgemeine Problem wurde darauf aufbauend 1961 von Otto Kegel gelöst^[4]

Der Satz von Kegel-Wielandt verallgemeinert den Satz von Burnside, demzufolge endliche Gruppen der Ordnung ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$ (mit Primzahlen ${\displaystyle p,q}$) auflösbar sind: solche Gruppen sind das Produkt zweier Sylow-Untergruppen, die beide nilpotent sind.

Die entsprechende Frage für unendliche Gruppen ist offen.

Einzelnachweise

1. ↑ P. Hall: On the Sylow systems of a soluble group. Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser. 43, 316–323 (1937).
2. ↑ H. Wielandt: Über das Produkt paarweise vertauschbarer nilpotenter Gruppen. Math. Z. 55, 1–7 (1951).
3. ↑ H. Wielandt: Über Produkte von nilpotenten Gruppen. Ill. J. Math. 2, No. 4B, 611–618 (1958).
4. ↑ O. Kegel: Produkte nilpotenter Gruppen. Arch. Math. 12, 90–93 (1961).