Der Satz von Jacobi (nach C. Jacobi) ist eine Aussage aus der additiven Zahlentheorie über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten.
Der Satz von Jacobi findet unter anderem Anwendung in der geometrischen Zahlentheorie, z. B. bei der Bestimmung der Anzahl von Gitterpunkten in einer -dimensionalen Kugel.[1]
Satz
Für jede natürliche Zahl sei durch
definiert. Dann ist
wobei die Teilerfunktion ist (d. h. die Summe aller Teiler von n einschl. n selbst).[1][2]
Das lässt sich auch so ausdrücken:
oder:
(Summe über die Teiler von n, die nicht durch 4 teilbar sind).
Jacobi fand diesen Satz mit Hilfe der von ihm in seiner Theorie der elliptischen Funktionen eingeführten Thetafunktionen über die Identität
mit , . Die Thetafunktionen auf der linken Seite und die Eisensteinreihe rechts sind beides Modulformen (zur Kongruenzuntergruppe und Gewicht ).[3]
Beispiel
Für ergibt sich aus dem Satz von Jacobi
Es ist Mit Hilfe des Multinomialkoeffizienten berechnet man die Anzahl der Permutationen der Tupel bzw. : Für gibt es Permutationen, für sind es und für gibt es Permutationen, insgesamt also mögliche Tupel.
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise und Anmerkungen
- ↑ a b E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, ISBN 978-3-8171-1287-6, 6.2, 6.6.
- ↑ H. Siemon: Einführung in die Zahlentheorie. Verlag Dr. Kovac, Hamburg 2002, ISBN 978-3-8300-0674-9, 5.5.
- ↑ Zum Beispiel Ila Varma: Sums of Squares, Modular Forms and Hecke Characters. (Memento vom 9. September 2016 im Internet Archive; PDF). Master Thesis, Universität Leiden 2010, S. 38.