Satz von Hurwitz (Funktionentheorie)

Der Satz von Hurwitz (nach Adolf Hurwitz (1859–1919) benannt) ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Der Satz von Hurwitz

Sei ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Funktionen die auf einem Gebiet ${\displaystyle G}$ holomorph sind und die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiere kompakt gegen ${\displaystyle f}$. Ist außerdem die Anzahl der Nullstellen der Funktionen ${\displaystyle f_{n}}$ (ab einem Index) durch ${\displaystyle M}$ beschränkt, dann gilt:

Die Grenzfunktion ${\displaystyle f}$ hat maximal ${\displaystyle M}$ Nullstellen auf ${\displaystyle G}$ oder ${\displaystyle f\equiv 0}$ auf ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle f}$ ist die Nullfunktion).

Folgerung

Sei ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Funktionen, die auf einem Gebiet ${\displaystyle G}$ holomorph und injektiv sind, und die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiere kompakt gegen ${\displaystyle f}$.

Dann ist ${\displaystyle f}$ injektiv auf ${\displaystyle G}$ oder konstant auf ${\displaystyle G}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hurwitz's theorem. In: MathWorld (englisch).
• Jiri Lebl: Hurwitz's theorem. In: PlanetMath. (englisch)