Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt. Ursprünglich wurde der Satz im Sinne von Bilinearformen unendlich vieler Veränderlicher formuliert.^[1][2][3]

Formulierung

Es seien $H$ ein Hilbertraum und $T:H\rightarrow H$ ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle $x,\,y\in H$ die Gleichung

$\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle$

erfüllt. Dann ist $T$ stetig, d. h. beschränkt.^[4]

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen:^[5] Ist $(x_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ eine Nullfolge und $Tx_{n}$ konvergent, dann ist $\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}=0$.
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf $H$ und setzt $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}$, dann folgt

$\langle y,y\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle =\langle 0,Ty\rangle =0,$

also $y=0$.

Folgerungen

• Da der Operator $T$ linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
• Jeder symmetrische, überall auf $H$ definierte Operator ist selbstadjungiert.
• Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien $H_{1}$ und $H_{2}$ Hilberträume und $T:H_{1}\rightarrow H_{2}$ ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator $S:H_{2}\rightarrow H_{1}$, der für alle $x\in H_{1}$ und $y\in H_{2}$ die Gleichung

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H_{2}}=\langle x,Sy\rangle _{H_{1}}}$

erfüllt. Dann sind $T$ und $S$ stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

Siehe die Einzelnachweise oder Fachbücher der Funktionalanalysis.

Einzelnachweise

1. ↑ R. E. Edward: The Hellinger-Toeplitz Theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. s1-32, Nr. 4, Oktober 1957, S. 499–501, doi:10.1112/jlms/s1-32.4.499 (englisch, wiley.com [abgerufen am 10. November 2022]). 
2. ↑ Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. In: Mathematische Annalen. Band 69, Nr. 3, September 1910, ISSN 0025-5831, S. 321 ff., doi:10.1007/BF01456325 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]). 
3. ↑ Ernst Hellinger, Otto Toeplitz: Integralgleichungen und Gleichungen mit Unendlichvielen Unbekannten. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1928, ISBN 978-3-663-15348-1, doi:10.1007/978-3-663-15917-9 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]). 
4. ↑ Marshall Harvey Stone: Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. American Mathematical Society, New York 1932, ISBN 0-8218-1015-4, S. 59 ff. (englisch, archive.org [abgerufen am 10. November 2022]). 
5. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, S. 260 ff., doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 10. November 2022]).