Satz von Gelfond-Schneider

Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Der Zusammenhang wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon wenig später von Theodor Schneider gefunden und bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Es seien ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ algebraische Zahlen (mit ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$). ${\displaystyle \beta }$ sei darüber hinaus irrational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

${\displaystyle \,\alpha ^{\beta }}$ ist transzendent.

Für ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp(\beta \cdot \ln \alpha )}$ . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Er lässt sich auch so formulieren, dass für Logarithmen zweier algebraischer Zahlen aus der linearen Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen die lineare Unabhängigkeit über den algebraischen Zahlen folgt. In dieser Formulierung ist der Satz von Gelfond-Schneider in den 1960er Jahren von Alan Baker erheblich erweitert worden.

Der Satz von Baker lautet: Wenn die ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ algebraische Zahlen sind, sodass ${\displaystyle 1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}}$ über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann sind ${\displaystyle 1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}}$ linear unabhängig über den algebraischen Zahlen.

Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgt unmittelbar die Transzendenz der folgenden Zahlen:

• Die Gelfond-Schneider-Konstante ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ sowie ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$
• Die Gelfond-Konstante ${\displaystyle \,e^{\pi }}$, da ${\displaystyle \,e^{\pi }=e^{\mathrm {i} \pi (-\mathrm {i} )}=(-1)^{-\mathrm {i} }}$ . Man beachte, dass ${\displaystyle \mathrm {i} }$ keine rationale Zahl ist.
• Die Zahl ${\displaystyle {\rm {i^{i}}}}$, die wegen ${\displaystyle {\rm {i^{i}}}=\left(e^{\mathrm {i} \pi /2}\right)^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}\approx 0{,}207879}$ eine reelle Zahl ist.
• ${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$ ist transzendent, denn sonst erhält man durch Einsetzen von ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b={\frac {\log 2}{\log 3}}}$ (wobei b irrational ist) einen Widerspruch

• Satz von Lindemann-Weierstraß
• Vermutung von Schanuel, die diesen Satz verallgemeinert

• Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S. 177–182. ISSN 0002-3264
• Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd. I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S. 177–182. ISSN 0075-4102

• Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)