Satz von Frobenius (Differentialtopologie)

In der Mathematik gibt der Satz von Frobenius eine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für die vollständige Integrierbarkeit von Hyperebenenfeldern, also für die Existenz einer maximalen Menge unabhängiger Lösungen zu einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen.

Es wurde 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen.^[1] Er behandelt darin das Pfaffsche Problem für den Fall, dass die Jacobi-Determinante des Systems und einiger Untersysteme verschwindet.

Vollständige Integrierbarkeit

Ein Untervektorbündel

${\displaystyle F\subset TM}$

des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißt vollständig integrierbar (oft auch nur integrierbar), wenn es eine Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von ${\displaystyle M}$ mit

${\displaystyle F=T{\mathcal {F}}}$

gibt.

Satz von Frobenius

Sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Der Satz von Frobenius besagt, dass ein Untervektorbündel ${\displaystyle F\subset TM}$ genau dann vollständig integrierbar ist, wenn die Vektorfelder mit Werten in ${\displaystyle F}$ eine Lie-Unteralgebra der Lie-Algebra aller Vektorfelder bilden, wenn also der Kommutator zweier ${\displaystyle F}$-wertiger Vektorfelder wieder Werte in ${\displaystyle F}$ hat.

Der Satz gilt unverändert unter der Annahme, dass ${\displaystyle M}$ eine (unendlichdimensionale) Banach-Mannigfaltigkeit ist.^[2]

Formulierung mittels Differentialformen

Sei ${\displaystyle \Omega (M)}$ der Ring der Differentialformen auf ${\displaystyle M}$. Zum Untervektorbündel ${\displaystyle F\subset TM}$ betrachte man das Ideal

${\displaystyle I(F):=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \iota _{v}\alpha =0\right\}=\left\{\alpha \in \Omega (M)\mid \forall \ v\in F\colon \alpha (v,.,\dotsc ,.)\cong 0\right\}}$.

Dann ist der Satz von Frobenius äquivalent zu folgender Aussage:

${\displaystyle F\subset TM}$ ist genau dann vollständig integrierbar, wenn ${\displaystyle I(F)}$ abgeschlossen unter der äußeren Ableitung ist, wenn also aus ${\displaystyle \alpha \in I(F)}$ stets ${\displaystyle {\text{d}}\alpha \in I(F)}$ folgt.

Lokale Beschreibung

In lokalen Koordinaten auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset M}$ lässt sich ein Hyperebenenfeld der Kodimension ${\displaystyle k}$ durch ${\displaystyle k}$ 1-Formen ${\displaystyle \omega _{1},\dotsc ,\omega _{k}}$ beschreiben, die ${\displaystyle I(F)}$ erzeugen. Das Hyperebenfeld ist dann also auf ${\displaystyle U}$ genau dann integrierbar, wenn es 1-Formen ${\displaystyle \eta _{ij}}$ mit

${\displaystyle {\text{d}}\omega _{i}=\Sigma _{j}\eta _{ij}\wedge \omega _{j}}$

gibt.

Dies wiederum ist mit

${\displaystyle \Omega :=\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{k}}$

äquivalent zu jeder der folgenden Bedingungen:

• Für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,k}$ gilt

${\displaystyle d\omega _{i}\wedge \Omega =0}$.

• Es gibt eine 1-Form ${\displaystyle \alpha }$ mit

${\displaystyle {\text{d}}\Omega =\alpha \wedge \Omega }$.

• Es gibt lokal definierte Funktionen ${\displaystyle f_{ij},g_{j}\;(i,j=1,\dotsc ,k)}$ mit

${\displaystyle \omega _{i}=\Sigma _{j}f_{ij}dg_{j}}$.

Beispiel

Wenn ${\displaystyle F}$ ein 1-dimensionales Hyperebenenfeld (also ein Geradenfeld) ist, dann sind alle Kommutatoren ${\displaystyle F}$-wertiger Vektorfelder Null, die Voraussetzung des Satzes von Frobenius also trivialerweise erfüllt. Man erhält, dass jedes Geradenfeld integrierbar ist. Dies folgt aber bereits direkt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen, der ebenfalls beim Beweis des Satzes von Frobenius verwendet wird.

Literatur

• Shlomo Sternberg: Lectures on differential geometry. Second edition. With an appendix by Sternberg and Victor W. Guillemin. Chelsea Publishing Co., New York 1983. ISBN 0-8284-0316-3.

Weblinks

• Yum Tong Siu: Partial differential equations with compatibility conditions. Seminar Harvard, 2014, PDF (Zugriff verweigert).

Einzelnachweise

1. ↑ Frobenius: Über das Pfaffsche Problem. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 82, 1877, S. 230–315, Digitalisat.
2. ↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 326 ff.