Satz von Ehresmann

In der Mathematik ist der Satz von Ehresmann, benannt nach Charles Ehresmann, ein grundlegender Satz der Differentialtopologie.

Formulierung des Satzes

Seien ${\displaystyle M,N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

eine differenzierbare Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle f}$ ist eine Submersion, d. h. für alle ${\displaystyle x\in M}$ ist das Differential ${\displaystyle D_{x}f:T_{x}M\rightarrow T_{f(x)}N}$ surjektiv,

2. ${\displaystyle f}$ ist surjektiv, d. h. für alle ${\displaystyle y\in N}$ ist ${\displaystyle f^{-1}(\left\{y\right\})}$ nicht leer,

3. ${\displaystyle f}$ ist eigentlich, d. h. für alle kompakten Mengen ${\displaystyle K\subset N}$ ist ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ kompakt.

Dann ist ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ein Faserbündel.

Man beachte, dass die dritte Bedingung automatisch erfüllt ist, wenn ${\displaystyle M}$ kompakt ist.

Beispiel

Eine Funktion ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ liefert eine Zerlegung des Urbildraumes ${\displaystyle M}$ in Niveaumengen

${\displaystyle f^{-1}(c):c\in N}$.

Das Bild rechts zeigt die Zerlegung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in Niveaumengen der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$.

Man kann dann fragen, ob diese Zerlegung lokal trivial, also ein Faserbündel über ${\displaystyle N}$ mit den Niveaumengen als Fasern ist. (Daraus würde dann insbesondere folgen, dass alle Niveaumengen diffeomorph zueinander sind.)

Das Beispiel ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ist als Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ kein Faserbündel, denn ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ist nicht diffeomorph zu ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ für ${\displaystyle c>0}$. Der Grund dafür ist letztlich, dass ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ keine Submersion ist: das Differential verschwindet in diesem Punkt.

Dagegen erfüllt die Einschränkung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$ die Voraussetzungen des Satzes von Ehresmann, die Niveaumengen von ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ sind also die Fasern eines Faserbündels ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}}$. In diesem Beispiel handelt es sich sogar um ein (global) triviales Faserbündel, die Abbildung ${\displaystyle (r,\theta )\rightarrow (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ liefert einen Diffeomorphismus ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$.

Gegenbeispiel

Beispiele, die die Bedingungen 1. und 2., aber weder Bedingung 3. noch die Konklusion erfüllen, erhält man wie folgt: Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ${\displaystyle (a_{0},b_{0})\in A\times B}$ ein beliebiger Punkt, ${\displaystyle M:=A\times B\setminus \left\{(a_{0},b_{0})\right\}}$ und ${\displaystyle f:M\rightarrow B}$ die durch

${\displaystyle f(a,b)=b}$

definierte Abbildung. ${\displaystyle f}$ ist eine surjektive Submersion, aber kein Faserbündel, denn ${\displaystyle f^{-1}(b_{0})}$ ist nicht diffeomorph zu ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ für ${\displaystyle b\not =b_{0}}$. (Denn ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ist kompakt, während ${\displaystyle f^{-1}(b_{0})}$ nicht kompakt ist.)

Literatur

• Dundas: Differential Topology (PDF; 3,1 MB) mit einem Beweis des Satzes in Abschnitt 9.5.