Satz von Cauchy (Geometrie)
Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.
Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt .
Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für bewiesen[1][2] und im allgemeinen Fall von T. Kubota,[3] Hermann Minkowski[4] und Tommy Bonnesen.[5][6][7]
Beispiele
Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche .
Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert ):
- Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
| Projektionsrichtung | Bild | Flächeninhalt des Bildes | Verhältnis zur Würfeloberfläche |
|---|---|---|---|
| parallel zu einer Kante | ein Quadrat mit Seitenlänge | ||
| parallel zu einer Flächendiagonale | ein Rechteck mit Seitenlängen und | ||
| parallel zu einer Raumdiagonale | ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge | ||
| andere Richtungen | unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke | unterschiedlich | unterschiedlich |
- Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
| Projektionsrichtung | Bild | Flächeninhalt des Bildes | Verhältnis zur Tetraederoberfläche |
|---|---|---|---|
| entlang einer Kante | ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis und Höhe | ||
| parallel zu einer Höhe | ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge | ||
| normal zu zwei windschiefen Kanten | ein Quadrat mit Seitenlänge | ||
| andere Richtungen | unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke | unterschiedlich | unterschiedlich |
Verallgemeinerung
Im Fall eines konvexen Körpers im -dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch zu ersetzen, wenn das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Siehe auch
- Dispersitätsanalyse
Einzelnachweise
- ↑ Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065
- ↑ Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850
- ↑ Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99
- ↑ Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229
- ↑ Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929
- ↑ Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997
- ↑ Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016