Satz von Bonnet-Myers

Der Satz von Myers (nach Sumner Byron Myers) ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden und wird deshalb auch Satz von Bonnet-Myers genannt. Der Vollständigkeit halber wird hier erst der Satz von Bonnet formuliert, welcher nach dem Mathematiker Pierre Ossian Bonnet benannt ist.

Durchmesser

Um die Sätze von Bonnet und Myers formulieren zu können, wird zuerst der Begriff des Durchmessers einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit definiert. Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit mit der Abstandsfunktion ${\displaystyle d}$, zur Definition siehe hier. Dann nennt man

${\displaystyle \operatorname {diam} (M):=\sup\{d(p,q)\mid p,q\in M\}}$

ihren Durchmesser. Es ist zu beachten, dass der Durchmesser der Sphäre mit Radius ${\displaystyle R}$ nicht ${\displaystyle 2R}$ sondern ${\displaystyle \pi R}$ ist.

Satz von Bonnet

Sei ${\displaystyle M}$ eine vollständige, zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Alle Schnittkrümmungen seien durch eine positive Konstante ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{R^{2}}}}$ nach unten beschränkt. Dann ist ${\displaystyle M}$ ein kompakter Raum mit endlicher Fundamentalgruppe und der Durchmesser der Riemann'schen Mannigfaltigkeit ist höchstens ${\displaystyle \pi R}$.

Satz von Myers

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine vollständige, zusammenhängende, n-dimensionale Riemann'sche Mannigfaltigkeit, für welche der Ricci-Tensor für alle ${\displaystyle V\in TM}$ die Ungleichung

${\displaystyle \operatorname {Ric} (V,V)\geq {\frac {n-1}{R^{2}}}g(V,V)}$

erfüllt. Dann ist ${\displaystyle M}$ kompakt, hat eine endliche Fundamentalgruppe und der Durchmesser ist höchstens ${\displaystyle \pi R}$.

Anmerkungen

• Der Satz von Myers ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet, da aus einer strikt positiven Schnittkrümmung die strikt positive Ricci-Krümmung folgt.

• Das Paraboloid ${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z=x^{2}+y^{2}\}}$ ist zusammenhängend und mit der durch das Skalarprodukt des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ induzierten riemannschen Metrik vollständig. Außerdem hat es positive Schnittkrümmung, ist jedoch nicht kompakt. Das Paraboloid erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Bonnet deshalb nicht, weil sich seine Schnittkrümmung beliebig an Null annähert. Dieses Beispiel zeigt also, dass die Forderung einer positiven Schnittkrümmung im Satz von Bonnet nicht ausreichen würde.

• Bemerkenswert an den Sätzen von Bonnet und Myers ist, dass sie einen Zusammenhang zwischen lokalen geometrischen und globalen topologischen Eigenschaften herstellen. So benötigt man die Riemann'sche Metrik für die Definition des entsprechenden Krümmungstensors. Die globalen, topologischen Eigenschaften sind hier die Kompaktheit der Mannigfaltigkeit und die Endlichkeit der Fundamentalgruppe. Diese topologischen Eigenschaften sind in ihrer Definition unabhängig von der Riemann'schen Metrik oder der differenzierbaren Struktur und hängen auch nicht vom Punkt der Mannigfaltigkeit ab. Solche Sätze werden daher local-global-Theoreme genannt. Andere solcher lokal/global-Aussagen sind der Satz von Cartan-Hadamard und der Satz von Gauß-Bonnet.

• Eine Anwendung findet der Satz von Myers bei Einstein'schen Mannigfaltigkeiten. Für eine Einstein'sche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ mit positiver Skalarkrümmung ${\displaystyle S}$ erfüllt ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Ric} (X,Y)={\frac {1}{n}}Sg(X,Y)}$ die Voraussetzungen des Satzes. Daraus folgt sofort, dass nicht kompakte Einstein'sche Mannigfaltigkeiten negative oder verschwindende Skalarkrümmung haben müssen.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228