Satz von Binet-Cauchy

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix ${\displaystyle C}$. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung ${\displaystyle C=A\cdot B}$ bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ quadratisch sind.

Satz

Sind ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle n\times m}$-Matrix und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von ${\displaystyle A\cdot B}$ durch Aufsummieren von Produkten aus je einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Minor von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \det(A\cdot B)=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S})\det(B_{S})=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S}\cdot B_{S})}$

Die Untermatrizen ${\displaystyle A_{S}}$ und ${\displaystyle B_{S}}$ ergeben sich aus den Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wenn nur die Spalten aus ${\displaystyle A}$ bzw. Zeilen aus ${\displaystyle B}$ verwendet werden, deren Nummern in ${\displaystyle S}$ vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist ${\displaystyle n>m}$, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt ${\displaystyle \det(A\cdot B)=0}$.

Gilt ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, dann gibt es genau eine Teilmenge ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$ und es gilt ${\displaystyle \det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)}$.

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix ${\displaystyle C}$ mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}=A\cdot B}$.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

${\displaystyle \det(C)=\sum _{S\subseteq \{1,2,3\} \atop |S|=2}\det(A_{S})\det(B_{S})}$

${\displaystyle \qquad =\det(A_{\{1,2\}})\cdot \det(B_{\{1,2\}})+\det(A_{\{2,3\}})\cdot \det(B_{\{2,3\}})+\det(A_{\{1,3\}})\cdot \det(B_{\{1,3\}})}$

${\displaystyle \qquad =\det {\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\11&12\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \qquad =(-3)\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)}$

${\displaystyle \qquad =36}$.

Literatur

• Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
• Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)