Satz von Bichteler-Dellacherie

Der Satz von Bichteler-Dellacherie ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Analysis. Er charakterisiert die Semimartingale durch eine Zerlegung des Prozesses in ein lokales Martingal und einen Prozess mit endlicher Variation.^[1] Als Konsequenz daraus folgt, dass die Integration mit Semimartingalen als Integratoren existiert.

Der Satz wurde von Klaus R. Bichteler (1979/1981) und Claude Dellacherie (1980) unabhängig voneinander bewiesen.^[2][3][4] Für den Beweis benötigt man meistens die Doob-Meyer-Zerlegung, einer Verallgemeinerung der Doob-Zerlegung in stetiger Zeit.

Satz von Bichteler-Dellacherie

FV-Prozess

Ein Càdlàg-Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ist ein Prozess endlicher Variation oder FV-Prozess (von englisch Finite-Variation), wenn fast alle Pfade von ${\displaystyle X}$ auf jedem kompakten Intervall von ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ eine endliche Variation besitzen.^[5]

Formulierung

Ein adaptierter Càdlàg-Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})}$ ist genau dann ein Semimartingal, wenn ${\displaystyle X}$ sich in

${\displaystyle X=M+A}$

zerlegen lässt, wobei ${\displaystyle M=(M_{t})}$ ein lokales Martingal und ${\displaystyle A=(A_{t})}$ ein FV-Prozess ist.

Literatur

• Mathias Beiglböck und Pietro Siorpaes: Riemann-integration and a new proof of the Bichteler–Dellacherie theorem. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 124, Nr. 3, 2014, ISSN 0304-4149, S. 1226–1235, doi:10.1016/j.spa.2013.10.001 (sciencedirect.com). 
• Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 39. 

Einzelnachweise

1. ↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 144. 
2. ↑ Bichteler, Stochastic Integrators, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 1, 1979, S. 761–765
3. ↑ Bichteler, Stochastic Integration and ${\displaystyle L^{p}}$ theory of semimartingales, Annales of Probability, Band 9,1981, S. 49–89
4. ↑ Dellacherie,Un survol de la théorie de l'intégrale stochastique, Stochastic Processes and Their Applications, Band 10, 1980, S. 115–144
5. ↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 39.