Satz von Beltrami-Enneper

Der Satz von Beltrami-Enneper (nach Eugenio Beltrami^[1] und Alfred Enneper^[2]) ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie der Flächen.

Aussage

Das Quadrat der Torsion einer Asymptotenlinie ist gleich der negativen gaußschen Krümmung der Fläche, in der sich die Kurve bewegt, sofern die Krümmung der Kurve selbst nicht verschwindet.^[3][4] Eine Kurve auf einer Fläche heißt Asymptotenlinie, wenn die zweite Fundamentalform der Fläche entlang der Kurve verschwindet. Insbesondere ist die gaußsche Krümmung in jedem Punkt einer Asymptotenlinie nichtpositiv.

Anwendungsbeispiel

Aus dem Satz von Beltrami-Enneper folgt^[5]: Ist ${\displaystyle X}$ eine reguläre Fläche, die eine Gerade ${\displaystyle L=\{\gamma (t)\}}$ enthält (dabei ${\displaystyle \gamma }$ Parametrisierung nach der Bogenlänge), und ${\displaystyle \lambda (t)}$ ein an ${\displaystyle X}$ tangentiales, auf ${\displaystyle L}$ orthogonales Einheitsvektorfeld entlang ${\displaystyle \gamma (t)}$, dann ist die Krümmung von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \gamma (t)}$ gleich

${\displaystyle -\left|{\frac {d\lambda (t)}{dt}}\right|^{2}}$

Einschaliges Hyperboloid

Sei ${\displaystyle X=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}}$ das einschalige Hyperboloid und

${\displaystyle \gamma (t)=\left(1,{\frac {t}{\sqrt {2}}},{\frac {t}{\sqrt {2}}}\right),\lambda (t)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}\cdot \left(-t,{\frac {1}{\sqrt {2}}},-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {\frac {d\lambda (t)}{dt}}={\frac {1}{(1+t^{2})^{3/2}}}\cdot \left(-1,-{\frac {t}{\sqrt {2}}},{\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)}$

und damit

${\displaystyle -\left|{\frac {d\lambda (t)}{dt}}\right|^{2}={\frac {-1}{(1+t^{2})^{2}}}=K\,.}$

Einzelnachweise

1. ↑ Eugenio Beltrami: Dimostrazione di due formole del Sig. Bonnet. In: Giornale di Matematiche. 4, 1866, ZDB-ID 281094-3, S. 123–127 (Auch in: Eugenio Beltrami: Opere matematiche. Band 1. Hoepli, Mailand 1902, S. 297–301), Online.
2. ↑ Alfred Enneper: Über asymptotische Linien. In: Nachrichten von der Georg-Augusts-Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 12, 1870, ZDB-ID 502554-0, S. 493–510, (Resultat ist formuliert auf S. 499), Online
3. ↑ W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5. vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3, § 56, S. 133f.
4. ↑ Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 5. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9, Satz 3.19, S. 57.
5. ↑ Victor Andreevich Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces. A concise guide. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-4384-2, Theorem 2.7.6.