Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Raum der Fredholm-Operatoren und Index-Abbildung

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum ${\displaystyle X}$ bezeichne ${\displaystyle K(X)}$ seine topologische K-Theorie. Elemente in ${\displaystyle K(X)}$ werden durch formale Differenzen

${\displaystyle \left[E_{0}\right]-\left[E_{1}\right]}$,

von Vektorbündeln über ${\displaystyle X}$ repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung ${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}}$ ein solches Element aus ${\displaystyle K(X)}$ zuordnen.

Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}}$ hat man in jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ die endlich-dimensionalen Vektorräume

${\displaystyle \mathrm {ker} (F(x))}$ und ${\displaystyle \mathrm {coker} (F(x))}$, das heißt Kern und Kokern des Operators ${\displaystyle F(x)}$.

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten ${\displaystyle x\in X}$ unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung ${\displaystyle F}$ homotop zu einer stetigen Abbildung ${\displaystyle F^{\prime }}$, für die

${\displaystyle (\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}}$ und ${\displaystyle (\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}}$

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von ${\displaystyle X\times {\mathcal {H}}}$ sind, das heißt wir haben ein Element

${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]\in K(X)}$.

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu ${\displaystyle F}$ homotope Abbildung ${\displaystyle F^{\prime }}$ verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}$

von der Menge der Homotopieklassen ${\displaystyle \left[X,{\mathcal {F}}\right]}$ von Abbildungen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ in ${\displaystyle K(X)}$. Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz ${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]}$ heißt Indexbündel.

Satz von Atiyah-Jänich

Der von Michael Atiyah vermutete und von Klaus Jänich bewiesene Lehrsatz besagt, dass

${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}$

eine Bijektion ist.

Der Raum der Fredholm-Operatoren realisiert also den die topologische K-Theorie klassifizierenden Raum ${\displaystyle BU}$.

Betrachtet man den Spezialfall ${\displaystyle X=\{p\}}$ eines einpunktigen Raums, so ist einerseits ${\displaystyle K(X)\cong \mathbb {Z} }$, andererseits können die stetigen Abbildungen ${\displaystyle X\rightarrow {\mathcal {F}}}$ mit den Fredholmoperatoren ${\displaystyle F(p)}$ identifiziert werden. Man zeigt, dass die Homotopieklasse einer Abbildung ${\displaystyle X=\{p\}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ durch den Fredholm-Index von ${\displaystyle F(p)}$ bestimmt wird und obige Abbildung ${\displaystyle \mathrm {ind} }$ bei der Identifikation von ${\displaystyle K(X)}$ mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ genau mit dem Fredholm-Index übereinstimmt. Daher verallgemeinert die Indexabbildung den Fredholm-Index.

Literatur

• Bernhelm Booss: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel. Hochschultext. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ISBN 3-540-08451-7
• Max Karoubi: Espaces classifiants en K-théorie. Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970) 75–115.
• Klaus Jänich: Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. 161 (1965) 129–142.

Weblinks

Atiyah: Algebraic topology and operators in Hilbert space