Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen

Für eine Menge ${\displaystyle X}$ bezeichne ${\displaystyle |X|}$ wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache ${\displaystyle L}$ sei ${\displaystyle |L|}$ die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ bezeichne ${\displaystyle M}$ ihre Trägermenge.

Definition

Sei ${\displaystyle \kappa }$ eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ eine Struktur.

${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ heißt ${\displaystyle \kappa }$-saturiert, wenn für jede Menge ${\displaystyle A\subseteq M}$ mit ${\displaystyle |A|<\kappa }$ jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ realisiert wird.

${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ heißt saturiert, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\ |M|}$-saturiert ist.

Sätze

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

• Zu jeder Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa \geqslant |L|}$ und jeder unendlichen L-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ mit ${\displaystyle |M|<2^{\kappa }}$ gibt es eine ${\displaystyle \kappa ^{+}}$-saturierte elementare Erweiterung ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{*}}$ mit ${\displaystyle |M^{*}|\leqslant 2^{\kappa }}$.^[1]:125

Universalität und Homogenität

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.^[2]

Ultraprodukte

Abzählbare Ultraprodukte sind ${\displaystyle \aleph _{1}}$-saturiert. Es gilt:

• Sei ${\displaystyle L}$ eine abzählbare Sprache und für ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{i}}$ eine ${\displaystyle L}$-Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter ${\displaystyle \aleph _{1}}$-saturiert.^[1]:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

• Seien ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {M}}'}$ zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.^[1]:132

Abzählbare saturierte Modelle

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.^[3]

Beispiele

• Eine unendliche Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ist offenbar nie ${\displaystyle \kappa }$-saturiert, falls ${\displaystyle \kappa >|M|}$
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$ ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ ist ${\displaystyle \aleph _{0}}$-saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ ${\displaystyle \{x>1,x>2,x>3,\ldots \}}$ wird nicht realisiert.

Literatur

• Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8. 
• Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
2. ↑ Sacks, S. 112.
3. ↑ Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3