Rosette (Kurve)

Abbildung 1: Rosetten ${\displaystyle r=\cos(n\varphi ),\ n=2,3,4,5}$

Abbildung 2: Rosetten ${\displaystyle r=\cos(n\varphi ),\ n={\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{5}}}$

Abbildung 3: Rosette ${\displaystyle r=\cos(5\varphi )+c,\ c=0{,}1,0{,}3}$

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  Foucaultsches Pendel

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  Abbildung 4: Rosette: ${\displaystyle n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi }$

(c) Jason Davies, CC BY-SA 3.0

Abbildung 5: Rosetten ${\displaystyle r=\cos(\varphi \cdot n/d)}$

Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung

${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,}$

beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist

${\displaystyle x=a\cos(n\varphi )\;\cos(\varphi )}$,

${\displaystyle y=a\cos(n\varphi )\;\sin(\varphi )}$.

Falls

${\displaystyle n=1}$ ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung ${\displaystyle (x-0{,}5)^{2}+y^{2}=0{,}25}$,

${\displaystyle n=2}$ ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),

${\displaystyle n=3}$ ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),

${\displaystyle n=4}$ ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,

${\displaystyle n=5}$ ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.

Für

${\displaystyle n}$ gerade ist die Rosette ${\displaystyle 2n}$-blättrig.

${\displaystyle n}$ ungerade ist die Rosette ${\displaystyle n}$-blättrig.

Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.

Verallgemeinerungen

1. Lässt man für ${\displaystyle n}$ rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
2. Für irrationale Werte von ${\displaystyle n}$ sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
3. Addiert man zu ${\displaystyle r}$ eine Konstante: ${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )+\color {magenta}{c}}$, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).

Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.

Flächeninhalt

Eine Rosette ${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )}$ besitzt den Flächeninhalt

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$

falls ${\displaystyle n}$ gerade ist, und

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$

falls ${\displaystyle n}$ ungerade ist.

Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius ${\displaystyle a}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Rose. In: MathWorld (englisch).