Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ist eine mathematische elliptische Funktion. Sie wurde von Leonard James Rogers und Srinivasa Ramanujan entdeckt. Diese Funktion entsteht als Produkt der Fünften-Wurzel-Funktion und des Quotienten der Rogers-Ramanujan-Identitäten ${\displaystyle H(x)/G(x)}$.

Definition

Folgende Formel beschreibt die Definition des Rogers-Ramanujan-Kettenbruchs R(x):

${\displaystyle R(x)={\cfrac {x^{1/5}}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{1+{\cfrac {x^{3}}{1+{\cfrac {x^{4}}{1+{\cfrac {x^{5}}{1+{\cfrac {x^{6}}{1+{\cfrac {x^{7}}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

Diese Funktion steht mit den Rogers-Ramanujan-Identitäten in folgendem Zusammenhang:^[1]

${\displaystyle G(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}=(x;x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{4};x^{5})_{\infty }^{-1}}$

${\displaystyle H(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}=(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}}$

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\frac {H(x)}{G(x)}}}$

Mit dem Viereck wird die ${\displaystyle n}$-te Quadratzahl und mit dem Dreieck die ${\displaystyle n}$-te Dreieckszahl

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}}$

dargestellt. Und mit ${\displaystyle (a;b)_{n}}$ wird das Pochhammer-Symbol ausgedrückt:

${\displaystyle (a;b)_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1-ab^{m})}$

Hierbei muss ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl sein.

Direkt formuliert gilt somit diese Pochhammer-Darstellung:

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}}$

Die rechte Seite lässt sich auch als unendliches Produkt darstellen:

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-x^{5n-1})(1-x^{5n-4})}{(1-x^{5n-2})(1-x^{5n-3})}}}$

Analog hierzu ist der alternierende Kettenbruch S(x) so definiert:

${\displaystyle S(x)={\cfrac {x^{1/5}}{1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{1-{\cfrac {x^{3}}{1+{\cfrac {x^{4}}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Wenn bei der Definition von ${\displaystyle R(x)}$ der Wert ${\displaystyle x=1}$ eingesetzt wird, dann entsteht der Kettenbruch für den Kehrwert der goldenen Zahl, der gleich dem Vorgänger der goldenen Zahl ist. Der reelle Definitionsbereich der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion nach der Definition über das Pochhammer-Produkt ist das Intervall ${\displaystyle \left[0,1\right]}$, ihre Bildmenge ${\displaystyle \left[0,1/\Phi \right]}$. In diesem Intervall ist diese Funktion bijektiv. Das Kürzel ${\displaystyle \Phi :=({\sqrt {5}}+1)/2}$ steht für die Goldene Zahl. Für reelle ${\displaystyle x>1}$ spaltet sich die Funktion nach der Definition über den Kettenbruch zu einer surjektiven Funktion auf. Denn ab diesem Bereich werden jedem ${\displaystyle x}$ zwei ${\displaystyle y}$ zugeordnet. Für ${\displaystyle x=0}$ beginnt der Graph der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion ${\displaystyle R(x)}$ mit senkrechter Steigung und geht in einen rechtsgekrümmten Verlauf über. Für alle Werte ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ ist ${\displaystyle R(x)}$ positiv. Zuerst entdeckte Leonard James Rogers diese Funktion im Jahre 1894. Danach entdeckte Srinivasa Ramanujan dieselbe Funktion im Jahre 1913 unabhängig von Rogers. Als dritter Mathematiker entdeckte Issai Schur diese Funktion im Jahre 1917 unabhängig von den beiden zuvor genannten Personen. Beide Mathematiker erkannten dabei den Zusammenhang der Dedekindschen Etafunktion und der Thetafunktion mit ihrer Kettenbruchfunktion. Besondere Bedeutung erlangte die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion beim Lösen von quintischen Gleichungen in der Bring-Jerrard-Form.

Bezug zu den Thetafunktionen

Folgende Definitionen sind für die Theta-Nullwertfunktionen gültig:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}$

Die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktionen ${\displaystyle R(x)}$ und ${\displaystyle S(x)}$ stehen zu den Theta-Nullwertfunktionen in diesen Beziehungen:

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}$

Das Element der fünften Wurzel kann auch vom Nomen der Thetafunktionen entfernt werden und auf die äußere Tangensfunktion übertragen werden. So kann eine Formel gebildet werden, welche nur mit einer von den drei Hauptthetafunktionen auskommt:

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

Bezug zur Dedekindschen Etafunktion

Die zuvorletzt genannte Kettenbruchformel stellt somit den Zusammenhang zur Dedekindschen Etafunktion her:^[2]

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(x^{1/5})}{2\eta _{W}(x^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

Denn für die Dedekindsche Etafunktion nach Weberscher Definition^[3] gelten diese Formeln:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\sum _{m=0}^{\infty }{\bigl [}x^{m(6m+1)}-x^{(2m+1)(3m+1)}-x^{(2m+1)(3m+2)}+x^{(m+1)(6m+5)}{\bigr ]}}$

Die letzte von diesen vier Formeln stellt die Beziehung zum Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler her.

So können dann jene zwei reinen Pochhammer-Symbol-Darstellungen für den Rogers-Ramanujan-Kettenbruch formuliert werden:

${\displaystyle R(x)=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}x^{-1/5}(x^{1/5};x^{1/5})(x^{5};x^{5})^{-1}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}}$

Bezug zur Ramanujanschen g-Funktion

Auch mit der Ramanujanschen ${\displaystyle g}$-Funktion können die Werte der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion berechnet werden.

Die ${\displaystyle g}$-Funktion ist so definiert:

${\displaystyle g(x)=2^{-1/12}\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{1/3}\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}}$

Analog gilt:

${\displaystyle g(25x)=2^{-1/12}\vartheta _{01}[\exp(-5\pi {\sqrt {x}})]^{1/3}\vartheta _{10}[\exp(-5\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}\vartheta _{00}[\exp(-5\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}}$

Und zueinander stehen die beiden Ausdrücke in dieser Beziehung:

${\displaystyle g(25x)^{6}-g(x)^{6}=2g(x)^{5}g(25x)^{5}+2g(x)g(25x)}$

In Abhängigkeit von dieser Definition gilt für die Kettenbruchfunktion folgende Formel:

${\displaystyle R[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}=R[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]R[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]^{2}}$

${\displaystyle \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {g(25x)-2g(x)^{5}}{2g(25x)+g(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}=R[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}R[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]^{-1}}$

Srinivasa Ramanujan zeigte, dass ${\displaystyle R}$ für alle positiven rationalen Werte ${\displaystyle x}$ algebraisch ist. Wenn ${\displaystyle x}$sogar eine natürliche Zahl ist, dann ist der Grad des ganzrationalen Lösungspolynoms des zugehörigen Werts ${\displaystyle R}$ durch 4 teilbar.

Bezug zu den Weberschen Funktionen

Für die elliptische Nomenfunktion ${\displaystyle q(k)}$ gilt:

${\displaystyle q(k)=\exp {\bigl [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}}$

${\displaystyle K}$ bezeichnet das vollständige elliptische Integral erster Art.

Die reduzierten Weberschen Modulfunktionen sind so über die Ramanujansche g-Funktion und G-Funktion sowie über die Pochhammerschen Produkte definiert:

${\displaystyle w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {{\text{g}}[n^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]}{{\text{g}}[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]^{n}}}={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}}}$

${\displaystyle W_{Rn}(\varepsilon )={\frac {{\text{G}}[n^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]}{{\text{G}}[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]^{n}}}={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{2n};q(\varepsilon )^{4n}]_{\infty }[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}{[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }[q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{4}]_{\infty }^{n}}}}$

Für den Fall mit dem Index n = 5 gilt außerdem:

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{nc}}{\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}-{\text{nc}}{\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

${\displaystyle W_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{dn}}{\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}+{\text{dn}}{\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

Und mit diesen Gleichungen sechsten Grades können die Werte dieser beiden Funktionen berechnet werden:

${\displaystyle w_{R5}(\varepsilon )^{6}-2\,w_{R5}(\varepsilon )^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}}$

${\displaystyle 2\,W_{R5}(\varepsilon )^{5}-W_{R5}(\varepsilon )^{6}=\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,W_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}}$

Mit der Nomenfunktion und den reduzierten Weberschen Funktionen können die Kettenbruchfunktionen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ so formuliert werden:

${\displaystyle R[q(k)]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(k)-2}{2\,w_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(k)-2}{2\,w_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R[q(k)^{2}]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(k)-2}{2\,w_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(k)-2}{2\,w_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

${\displaystyle R[q(k)^{2}]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}(k)}{2\,W_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}(k)}{2\,W_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

${\displaystyle S[q(k)]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}(k)}{2\,W_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}(k)}{2\,W_{R5}(k)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle S[q(k)]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\sqrt {5}}\,W_{R5}(k){\sqrt {2\,W_{R5}(k')+1}}}{2\,W_{R5}(k'){\sqrt {2\,W_{R5}(k)+1}}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

Werte der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion

Erzeugung der reduzierten Weberschen Funktionswerte

Im Folgenden sollen mit den genannten Gleichungen sechsten Grades wichtige Weberschen Funktionswerte ermittelt werden. Hierbei werden in dem folgenden Abschnitt die Gleichungen blau und die direkt aus den Gleichungen folgenden Lösungen grün markiert. Und die jeweiligen Quadrate der Sinusverdopplungen und Tangensverdopplungen der betroffenen elliptischen Module erhalten die violette Farbe. Als elliptische Module werden in die Ausgangsgleichungen sechsten Grades die elliptischen Lambda-Stern-Funktionswerte der positiven rationalen Zahlen eingetragen.

Gleichungen für die große W-Funktion:

Gleichung für den lemniskatischen Modul λ*(1):

${\displaystyle {\color {blue}2\,W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}-W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}=2\,W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+1}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)=\Phi }}$

Gleichungen für die lemniskatischen Module des kubizierten Nomens λ*(9) und λ*(1/9):

${\displaystyle {\color {blue}2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]^{5}-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]^{6}={\color {blueviolet}(2-{\sqrt {3}})^{4}}{\bigl \{}2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{4}]{60}})}}$

${\displaystyle {\color {blue}2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]^{5}-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]^{6}={\color {blueviolet}(2-{\sqrt {3}})^{4}}{\bigl \{}2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{60}})}}$

Beide W-Werte lösen dieselbe Gleichung sechsten Grades! Gleichungen für die äquianharmonischen Module λ*(3) und λ*(1/3):

${\displaystyle {\color {blue}2\,W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}-W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}={\color {blueviolet}{\tfrac {1}{4}}}{\bigl \{}2\,W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\tfrac {1}{12}}({\sqrt[{3}]{10}}+2)^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{80}}}}$

${\displaystyle {\color {blue}2\,W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}-W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}={\color {blueviolet}{\tfrac {1}{4}}}{\bigl \{}2\,W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\tfrac {1}{12}}({\sqrt[{3}]{10}}+2)^{2}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{80}}}}$

Auch hier lösen beide W-Werte dieselbe Gleichung sechsten Grades.

Denn die beiden Module k sind zueinander Pythagoräisch komplementär.

Gleichungen für die kleine w-Funktion:

Gleichung für λ*(2):

${\displaystyle {\color {blue}w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{6}-2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{5}=2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\text{g}}(50)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}{\bigr )}{\bigr ]}=}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\approx 2,12190403802900202926}}$

g(50) steht für folgenden Wert aus der Ramanujanschen g-Funktion.

Gleichung für λ*(6) und λ*(2/3):

${\displaystyle {\color {blue}w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]^{6}-2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]^{5}={\color {blueviolet}({\sqrt {2}}-1)^{4}}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]=\cot[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}})]}}$

${\displaystyle {\color {blue}w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]^{6}-2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]^{5}={\color {blueviolet}({\sqrt {2}}+1)^{4}}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]+1{\bigr \}}}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\cot[{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}})]}}$

Hier sind die beiden Gleichungen sechsten Grades unterschiedlich. Der violett markierten Vorfaktoren sind zueinander Kehrwerte. Denn die betroffenen Module sind zueinander tangentiell komplementär.

Berechnung der Werte für die Kettenbrüche R und S

Wichtige Funktionswerte des elliptischen Nomens:

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }}$

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\text{e}}^{-3\pi }}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$

Berechnung mit den Resultaten von der großen W-Funktion:

Lemniskatische Fälle:

Erstes Resultat:

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)=\Phi }}$

${\displaystyle {\color {RoyalBlue}R({\text{e}}^{-2\pi })}=R{\bigl [}q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{2}{\bigr ]}=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{2\,W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {2-W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{2\,W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}=}$

${\displaystyle {\color {limegreen}=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)]\approx 0{,}28407904384}}$

Zweites Resultat:

${\displaystyle {\color {ForestGreen}W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{4}]{60}})}}$

${\displaystyle {\color {RoyalBlue}R({\text{e}}^{-6\pi })}=R{\bigl \{}q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]^{2}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl \{}{\frac {2-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]}{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]+1}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }^{2/5}\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {2-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]}{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]+1}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }^{1/5}=}$

${\displaystyle {\color {limegreen}={\tfrac {1}{8}}(5+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}})\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )-{\tfrac {1}{8}}(5{\sqrt {15}}+11{\sqrt {5}}+15{\sqrt {3}}+19)+}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}+{\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{60}}\,[(2{\sqrt {5}}+3{\sqrt {3}}+1)\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )-2{\sqrt {15}}-4{\sqrt {5}}-5{\sqrt {3}}-5]\approx 0{,}0230541106}}$

Fall für λ*(2):

${\displaystyle {\color {ForestGreen}w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\text{g}}(50)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\color {RoyalBlue}R({\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })}=R{\bigl [}q({\sqrt {2}}-1){\bigr ]}=}$

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}({\sqrt {2}}-1)-2}{2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}({\sqrt {2}}-1)-2}{2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}=}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}\,{\text{g}}(50)^{-1}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}{\bigr \}}\approx 0{,}4064605813}}$

Liste der Werte

Im Folgenden werden die genannten Werte und weitere Werte^[4] aufgelistet:

${\displaystyle R(0)=0}$

${\displaystyle R(1)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$

${\displaystyle R[\exp(-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {5}}\pi )]={\sqrt[{5}]{4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )\tan({\tfrac {1}{20}}\pi )}}}$

${\displaystyle R[\exp(-\pi )]={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}$

${\displaystyle R[\exp(-{\sqrt {2}}\pi )]=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}}$

${\displaystyle R[\exp(-2\pi )]=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}$

${\displaystyle R[\exp(-2{\sqrt {2}}\pi )]=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(-2)-\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,){\bigr ]}}$

${\displaystyle R[\exp(-{\sqrt {6}}\pi )]=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}{\bigl (}{\sqrt {140{\sqrt {10}}-180{\sqrt {5}}-300{\sqrt {2}}+400}}+5{\sqrt {10}}-4{\sqrt {5}}-5{\sqrt {2}}+14{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle R[\exp(-4\pi )]={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-{\sqrt[{4}]{5}})=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)-{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}$

${\displaystyle R[\exp(-2{\sqrt {5}}\pi )]={\sqrt {5}}[1+{\sqrt[{5}]{({\sqrt {5}}-1)^{4}\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )^{3}\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}]^{-1}-{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

${\displaystyle R[\exp(-6\pi )]={\tfrac {1}{8}}(5+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}})\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )-{\tfrac {1}{8}}(5{\sqrt {15}}+11{\sqrt {5}}+15{\sqrt {3}}+19)+}$

${\displaystyle +{\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{60}}[(2{\sqrt {5}}+3{\sqrt {3}}+1)\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )-2{\sqrt {15}}-4{\sqrt {5}}-5{\sqrt {3}}-5]}$