Riemannscher homogener Raum

Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum (häufig auch nur Homogener Raum) ein Raum, der „in allen Punkten gleich aussieht“.

Definition

Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in M}$ gibt es eine Isometrie ${\displaystyle g\in \operatorname {Isom} (M)}$ mit ${\displaystyle g(x)=y}$.

Beschreibung mittels Lie-Gruppen

Jeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form

${\displaystyle M=G/H}$

für eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine kompakte Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$.

Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und eine abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle H}$ der Quotientenraum ${\displaystyle G/H}$ eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von ${\displaystyle H}$ auf der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der ${\displaystyle G/H}$ ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches ${\displaystyle Ad(H)}$-invariantes Skalarprodukt auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ existiert genau dann, wenn ${\displaystyle H}$ kompakt ist.

Riemannsche Metrik

Ein Riemannscher homogener Raum ${\displaystyle G/H}$ hat nach Definition eine ${\displaystyle G}$-invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf ${\displaystyle G}$ hochheben lässt. Die Quotientenabbildung ${\displaystyle G\to G/H}$ ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von ${\displaystyle G/H}$ mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von ${\displaystyle G}$ kennt.

Beispiele

• Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
• Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
• Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume ${\displaystyle G/H}$ mit einer nicht-kompakten Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$.

Literatur

• Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1975.