Reziprokenregel

Die Reziprokenregel^[1] oder Kehrwertregel^[2] dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{v(x)}}\,.}$

Ist die Funktion ${\displaystyle v(x)}$ von einem Intervall ${\displaystyle D}$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle ${\displaystyle x_{a}}$ mit ${\displaystyle v(x_{a})\neq 0}$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{a}}$ differenzierbar und nach der Kettenregel gilt für die Ableitung:

${\displaystyle f'(x_{a})=\left[{\frac {1}{v}}\right]'(x_{a})=\left[v^{-1}\right]'(x_{a})=(-1)\cdot v^{-2}(x_{a})\cdot v'(x_{a})=-{\frac {v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}\,}$

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{v}}\right]'=-{\frac {v'}{v^{2}}}\,.}$

Die Reziprokenregel kann auch als ein Spezialfall der Quotientenregel mit ${\displaystyle u(x)=1}$ aufgefasst werden.

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}$

berechnet sich an allen Stellen, an denen ${\displaystyle \sin(x)\neq 0}$ ist, nach obiger Reziprokenregel zu

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}}$,

denn die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion.

Einzelnachweise

1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.
2. ↑ Kehrwertregel für Ableitungen. In: Formelsammlung-Mathe.de. Abgerufen am 15. August 2019.