Resolvente

In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle z}$ verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte ${\displaystyle z}$, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

Für einen linearen Operator ${\displaystyle A}$ (oder auch eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$) definiert man die Resolventenmenge ${\displaystyle \rho (A)}$ als das Komplement des Spektrums von ${\displaystyle A}$, d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen ${\displaystyle z}$, für die der Operator ${\displaystyle zI-A}$ beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

${\displaystyle R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .}$

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente ${\displaystyle R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}}$, was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|>r\}}$, wobei ${\displaystyle r}$ der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

${\displaystyle R\left(A,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{z^{n+1}}}}$.

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus ${\displaystyle \left(z_{1}-z_{2}\right)I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A)}$ folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

${\displaystyle R\left(A,z_{2}\right)-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),}$

und aus ${\displaystyle A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-\left(zI-A_{1}\right)}$ folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

${\displaystyle R\left(A_{1},z\right)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).}$

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.