Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle D_{f}}$ isoliert in ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt ${\displaystyle a\in D_{f}}$ eine punktierte Umgebung ${\displaystyle U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D}$, die relativ kompakt in ${\displaystyle D}$ liegt, mit ${\displaystyle f|_{U}}$ holomorph.

In diesem Fall besitzt ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U}$ eine Laurententwicklung ${\displaystyle \textstyle f|_{U}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$. Dann bekommt man das Residuum von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ als Koeffizienten der Laurent-Reihe

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f):=c_{-1}.}$

Wenn ${\displaystyle a}$ ein Pol erster Ordnung ist, dann ist

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)=\lim _{z\to a}(z-a)f(z).}$

Wenn ${\displaystyle a}$ ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-a)^{n}f(z)\right).}$

Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint \limits _{\partial U}f(z)dz}$

berechnen kann.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ erweitern. Sei ${\displaystyle D_{f}}$ wieder eine diskrete Menge in ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ und ${\displaystyle f\colon \mathbb {P} _{1}\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist für alle ${\displaystyle a\in D_{f}}$ mit ${\displaystyle a\neq \infty }$ das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.

Für ${\displaystyle a=\infty \in D_{f}}$ setzt man

${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\operatorname {Res} _{0}\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$

Wenn

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

ist, dann kann man das Residuum in Unendlich durch

${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)}$

berechnen. Wenn hingegen

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

ist, dann berechnet man das Residuum in Unendlich durch

${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Eigenschaften und Anmerkungen

• Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion in ${\displaystyle a}$. Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ null ist.
• An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform ${\displaystyle f(z)\mathrm {d} z}$ sprechen kann.
• Es gilt der Residuensatz.
• Für rationale Funktionen ${\displaystyle f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}}$ gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: ${\displaystyle \sum _{p(f)}\operatorname {Res} _{p}(f)=0}$. Dabei ist ${\displaystyle p(f)}$ die Menge aller Pole von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle f,g}$ im Punkt ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ in der Praxis verwendet werden:

• Das Residuum ist ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear, d. h. für ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Polstelle 1. Ordnung und ist ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle a}$ holomorph, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Nullstelle 1. Ordnung und ist ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle a}$ holomorph, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Polstelle ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, gilt: ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]}$
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Nullstelle ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=n}$.
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Nullstelle ${\displaystyle n}$-ter Ordnung und ist g in ${\displaystyle a}$ holomorph, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n}$.
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Polstelle ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n}$.
• Hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ eine Polstelle ${\displaystyle n}$-ter Ordnung und ist g in ${\displaystyle a}$ holomorph, gilt: ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n}$.
• Sei ${\displaystyle f}$ in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet ${\displaystyle G}$, d. h. ${\displaystyle z\in G\Rightarrow {\overline {z}}\in G}$, holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte ${\displaystyle f(G\cap \mathbb {R} )\subset \mathbb {R} }$. Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu ${\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}$. Es gilt sodann ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\overline {a}}f={\overline {\operatorname {Res} _{a}f}}}$.^[1]
• Ist das Residuum am Punkt ${\displaystyle \infty }$ zu berechnen, so gilt ${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }f=\operatorname {Res} _{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)}$. Denn mit ${\displaystyle w={\tfrac {1}{z}}}$ gilt ${\displaystyle f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z}$

Die Regeln über die logarithmische Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {f'}{f}}}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

• Wie bereits erwähnt, ist ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}f=0}$, wenn ${\displaystyle f}$ auf einer offenen Umgebung von ${\displaystyle a}$ holomorph ist.
• Ist ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}}$, so hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle 0}$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}f=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Res} _{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}}$, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn ${\displaystyle z\mapsto z^{2}-1}$ hat in ${\displaystyle 1}$ eine Nullstelle 1. Ordnung.
• Die fortgesetzte Gammafunktion hat in ${\displaystyle -n}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist ${\displaystyle \operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}}$.

Algebraische Sichtweise

Es seien ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über ${\displaystyle K}$. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt ${\displaystyle x\in X}$ eine kanonische Abbildung

${\displaystyle \operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{K(X)/K}\to K,}$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in ${\displaystyle x}$ zuordnet.

Ist ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle K}$-rationaler Punkt und ${\displaystyle t}$ eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist ${\displaystyle \omega }$ eine meromorphe Differentialform und ${\displaystyle \omega =f\,\mathrm {d} t}$ eine lokale Darstellung, und ist

${\displaystyle f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}}$

die Laurentreihe von ${\displaystyle f}$, so gilt

${\displaystyle \operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.}$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ${\displaystyle \omega }$ ist die Summe der Residuen null:

${\displaystyle \sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.}$

Quellen

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.

Einzelnachweise

1. ↑ Steffen Timmann: Repetitorium der Funktionentheorie. Binomi Verlag, 1998, ISBN 978-3-923923-56-4, S. 120.