Repunit

Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt.[1] Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

, mit .

Zudem lässt sich auch eine rekursive Definition angeben:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (). Die Folge der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel „Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.

Es ist einfach zu zeigen, dass durch teilbar ist, falls durch teilbar ist. Zum Beispiel ist teilbar durch : 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig eine Primzahl sein, damit eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist keine Primzahl, da .

Außer für dieses Beispiel von kann nur Teiler von sein (für eine Primzahl ), wenn für ein bestimmtes .

Repunit-Primzahlen sind selten. ist eine Primzahl für (Folge A004023 in OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen und sind wahrscheinlich Primzahlen (sogenannte PRP-Zahlen). Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy . Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kürzester Zeit am 20. April 2021 und am 8. Mai 2021 als gegenwärtig (27. Mai 2021) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahlen.[2] Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.[3]

Verallgemeinerte Repunits

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis definiert:

, mit , ,

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:

Die Zahl besteht also aus genau Einsen (), wenn sie als Zahl zur Basis notiert wird (wobei unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel:

Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte für gebräuchliche Zahlensysteme
Binärsystem
Oktalsystem
Dezimalsystem
Hexadezimalsystem
binärdezimaloktaldezimaldezimalhexadezimaldezimal
11211018110110116110
2112310118910111011161710
3111271011187310111101111627310
41111215101111858510111110111116436910
51111123110111118468110111111011111166990510
611111126310111111837449101111111011111116111848110
7111111121271011111118299593101111111101111111161789569710
8111111112255101111111182396745101111111110111111111628633115310
9111111111251110111111111819173961101111111111011111111116458129844910
101111111111210231011111111118153391689101111111111101111111111167330077518510

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes , das nicht ohne Rest durch 2 oder teilbar ist, eine Repunit zur Basis existiert, die ein Vielfaches von ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen:

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit . Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit eine noch größere mit 41.382 Stellen.[4] Die derzeit (31. Mai 2021) größte bekannte verallgemeinerte Repunit-Primzahl ist mit 95.202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt.[5]

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen

Beispiele:

  • Die Repunit ist zur Basis eine Primzahl, weil eine Primzahl ist.
  • Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschrieben
Basis die kleinsten Repunit-Primzahlen zu Basen , im Dezimalsystem geschriebenOEIS-Folge
die dazugehörigen , für die obige Repunits Primzahlen sindOEIS-Folge
23, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, … (alle Mersenne-Primzahlen)Folge A000668 in OEIS
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...Folge A000043 in OEIS
313, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ...Folge A076481 in OEIS
3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867, ...Folge A028491 in OEIS
45 (die einzige, weil ist und die Zahl für ungerade ein Teiler von und für gerade ein Teiler von ist)
2
531, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, ...Folge A086122 in OEIS
3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...Folge A004061 in OEIS
67, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ...Folge A165210 in OEIS
2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...Folge A004062 in OEIS
72801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,

138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...

Folge A102170 in OEIS
5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...Folge A004063 in OEIS
873 (die einzige, weil und der erste Faktor durch 7 teilbar ist, wenn nicht durch 3 teilbar ist
bzw. der zweite Faktor durch 7 teilbar ist, wenn ein Vielfaches von 3 ist)
3
9es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil und sowohl als auch gerade sind
-
1011, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ...Folge A004022 in OEIS
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ...Folge A004023 in OEIS
1150544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ...
17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, 1868983, ...Folge A005808 in OEIS
1213, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ...
2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...Folge A004064 in OEIS

Einzelnachweise

  1. Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.
  2. Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.
  3. Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.
  4. Andy Steward:Titanic Prime Generalized Repunits. (Memento vom 19. Oktober 2013 im Internet Archive)
  5. Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Generalized Repunit. Abgerufen am 31. Mai 2021 (englisch).