Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ seien unabhängig und normalverteilt als

${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$.

Die Zufallsvariable ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ist dann ebenfalls normalverteilt als

${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$.

Allgemein gilt: Aus ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k}$ unabhängig folgt:^[1]

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel ${\displaystyle X_{n},X_{m}}$ binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n,m}$ und ${\displaystyle p}$, also ${\displaystyle X_{n}\sim B_{n,p}}$ und ${\displaystyle X_{m}\sim B_{m,p}}$, so ist ${\displaystyle (X_{n}+X_{m})\sim B_{n+m,p}}$. Für fixiertes ${\displaystyle p}$ ist also die Binomialverteilung ${\displaystyle B_{n,p}}$ reproduktiv bezüglich ${\displaystyle n}$. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Einzelnachweise

1. ↑ Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 149.