Regulator (Zahlentheorie)

Der Regulator bezeichnet in der Zahlentheorie eine Größe, die Auskunft über die Einheiten eines algebraischen Zahlkörpers gibt. Jedem Zahlkörper ${\displaystyle K}$ ist ein solcher Regulator ${\displaystyle R_{K}}$ zugeordnet.

Definition

Sei ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper mit Erweiterungsgrad ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=n}$. Sei ${\displaystyle r}$ die Anzahl der reellen Einbettungen von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle 2s}$ die Anzahl der komplexen Einbettungen, es gilt also ${\displaystyle n=r+2s}$. Dann ist der freie Teil der Einheitengruppe des ganzen Abschlusses ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle K}$ nach dem dirichletschen Einheitensatz isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r+s-1}}$. Bildet man die Einheitengruppe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$ über

${\displaystyle a\mapsto (\ln(|\rho _{1}(a)|),\dots ,\ln(|\rho _{r}(a)|),2\ln(|\sigma _{1}(a)|),\dots ,2\ln(|\sigma _{s}(a)|))}$

in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+s}}$ ab, wobei ${\displaystyle \rho _{1},\dots ,\rho _{r}}$ die reellen Einbettungen und ${\displaystyle \sigma _{1},{\overline {\sigma _{1}}}\dots ,\sigma _{s},{\overline {\sigma _{s}}}}$ die komplexen Einbettungen sind, so ist das Bild ein ${\displaystyle (r+s-1)}$-dimensionales Gitter des Volumens ${\displaystyle V}$. Der Regulator ${\displaystyle R_{K}}$ ist nun definiert als

${\displaystyle R_{K}:={\frac {V}{\sqrt {r+s}}}.}$

Er stellt eine wichtige Größe des Zahlkörpers dar und taucht zum Beispiel in der Klassenzahlformel wieder auf.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen dieses Begriffs sind unter anderem der Borel-Regulator und der Beilinson-Regulator. Zur Abgrenzung von diesen wird der in diesem Artikel beschriebene Spezialfall auch als Dirichletscher Regulator bezeichnet.

Literatur

• S. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 1966.