Reeb-Vektorfeld

In der Mathematik sind Reeb-Vektorfelder (benannt nach Georges Reeb) ein Konzept der Kontaktgeometrie. Eigenschaften von Reeb-Vektorfeldern sind bei der Suche nach periodischen Bahnen nützlich.

Definition

Sei ${\displaystyle \alpha }$ eine Kontaktform auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Das Reeb-Vektorfeld der Kontaktform ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld ${\displaystyle R}$ auf ${\displaystyle M}$, welches die beiden Bedingungen

• ${\displaystyle d\alpha (R(p),X(p))=0}$ für jedes Vektorfeld ${\displaystyle X}$ und jedes ${\displaystyle p\in M}$
• ${\displaystyle \alpha (R(p))=1}$ für jedes ${\displaystyle p\in M}$

erfüllt.

Der Fluss des Reeb-Vektorfeldes wird als Reeb-Fluss bezeichnet, seine Bahnen als Reeb-Orbiten.

Beispiele

• Für die Standard-Kontaktform ${\displaystyle \alpha =xdy+dz}$ auf ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ist das Reeb-Vektorfeld ${\displaystyle R={\tfrac {\partial }{\partial z}}}$.
• Für die Standard-Kontaktform ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {i}{2}}(ud{\overline {u}}-{\overline {u}}du+vd{\overline {v}}-{\overline {v}}dv)}$ auf der 3-Sphäre ${\displaystyle S^{3}=\left\{(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}\colon \vert u\vert ^{2}+\vert v\vert ^{2}=1\right\}}$ ist das Reeb-Vektorfeld ${\displaystyle R=iu{\tfrac {\partial }{\partial u}}-i{\overline {u}}{\tfrac {\partial }{\partial {\overline {u}}}}+iv{\tfrac {\partial }{\partial v}}-i{\overline {v}}{\tfrac {\partial }{\partial {\overline {v}}}}}$. Seine Bahnen sind die Fasern der Hopf-Faserung.
• Für die kanonische Kontaktform auf dem Einheits-Kotangentialbündel ${\displaystyle ST^{*}M}$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ entspricht das Reeb-Vektorfeld unter dem durch die Metrik gegebenen Isomorphismus ${\displaystyle ST^{*}M\simeq STM}$ dem Vektorfeld des geodätischen Flusses.

Literatur

• H. Geiges: An introduction to contact topology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2008