Reeb-Blätterung

In der Mathematik ist die Reeb-Blätterung eine spezielle Blätterung des Volltorus, benannt nach Georges Reeb.

Konstruktion

Querschnitt durch eine Reeb-Blätterung.

Definiere eine Submersion

durch

wobei die 2-dimensionalen Kreisscheibe ist. Die Niveaumengen dieser Submersion bilden eine Blätterung von . Diese ist invariant unter der durch

für

gegebenen -Wirkung, weil mit der von unabhängigen Konstanten ist. Die induzierte Blätterung des Volltorus heißt Reeb-Blätterung. Der berandende Torus

ist ein Blatt dieser Blätterung (die Niveaumenge ).

Reeb-Komponenten

Man sagt, eine Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit habe eine Reeb-Komponente, wenn es einen eingebetteten Volltorus

gibt, so dass die Einschränkung von auf homöomorph zur Reeb-Blätterung ist.

Beispiel: Reeb-Blätterung der 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre erhält man durch Verkleben zweier Volltori, siehe Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre. Die Reeb-Blätterung der 3-Sphäre erhält man durch die Reeb-Blätterungen der beiden Volltori.

Existenz von Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten

Nach einem Satz von Lickorish erhält man jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung in der 3-Sphäre. Man kann diesen Satz benutzen, um auf jeder geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit Blätterungen mit Reeb-Komponenten zu konstruieren.

Dagegen besitzen nicht alle geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten Blätterungen ohne Reeb-Komponenten.

Sogenannte straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) besitzen keine Reeb-Komponenten.

Eigenschaften

Die Reeb-Blätterung ist , aber nicht analytisch.

Ihr Blattraum ist nicht Hausdorffsch.

Literatur

Weblinks

Manifold Atlas

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Reeb foliation half-torus POV-Ray.png
Autor/Urheber: Ilya Voyager, Lizenz: CC0
Reeb foliation, generated with gnuplot and POV-Ray (see details below)