Kürzbarkeit
Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.
Kürzbare/reguläre Elemente
Gegeben sei ein Gruppoid/Magma .
Definition
Ein Element heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle gilt:
und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle gilt:
heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn links- und rechtskürzbar ist.
Bemerkung
Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.
Beispiel
- In einem Ring ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
- In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.
Kürzbare/reguläre Halbgruppen
Definition
Eine Halbgruppe heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes kürzbar ist.
Beispiele
- Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition oder mit der üblichen Multiplikation ist eine kürzbare Halbgruppe.
- Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum oder mit dem Minimum ist keine kürzbare Halbgruppe.