Rechteckfunktion
Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:
Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:[1]
Allgemeines
Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion ausgedrückt werden als:
Dabei ist gesetzt.
Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die sinc-Funktion :
Das gilt auch für . Umgekehrt gilt allerdings formal nicht
- .
Denn es ist , und somit darf die Fouriertransformation nicht angewendet werden.
Verschiebung und Skalierung
Eine Rechteckfunktion, die bei zentriert ist und eine Dauer von hat, wird ausgedrückt durch
Ableitung
Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution möglich:
Weitere Zusammenhänge
Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.
Die mehrfache Faltung mit Faltungen
ergibt für mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.
Siehe auch
- Rechteckschwingung: Anwendung in der Signaltheorie und Elektrotechnik
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Rectangle Function. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2.