Rational elliptische Funktionen

Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen und für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor .

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung und einen reellen Selektivfaktor charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter definiert als:

,

wobei die Funktion eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. steht für das elliptische Integral erster Art und stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für gleich dem kleinsten Betragswert von ist.

Ausdruck als rationale Funktion

Für Ordnungen in der Form , mit und nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung , ausgedrückt werden als:

     ( gerade)

mit den Nullstellen und den Polstellen . Der Faktor wird so gewählt, dass gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei und eine Nullstelle bei , womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

     ( ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:

, mit .
, mit , ,

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

, keine rationale Funktion.

Eigenschaften

Normalisierung

Alle rational elliptischen Funktionen sind bei auf normiert:

.

Verschachtelung

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich und als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen in Form von analytischen Funktionen angeben.

Grenzwerte

Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art ausdrücken:

.

Symmetrie

Es gilt allgemein:

für gerade ,
für ungerades .

Welligkeit

hat eine einheitliche Welligkeit von im Intervall .

Kehrwert

Es gilt allgemein

.

Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei und eine Polstelle bei Unendlich auf.

Quellen

Literatur

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.

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Rational Elliptic Functions (n=1,2,3,4, x=--1,1-).svg
A graph of the rational elliptic function, Rn(ξ,x) on the interval [−1,1] for different degrees, n. ξ is the selectivity factor, and is 1.1 in this graph.