Rangstarrheit

Als Rangstarrheit (engl.: rank rigidity) bezeichnet man in der Differentialgeometrie das Phänomen, dass nur für sehr spezielle Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Rang größer ist als 1.

Zu diesen Beispielen von höherem Rang gehören im Wesentlichen lokal symmetrische Räume des entsprechenden Rangs sowie Mannigfaltigkeiten, deren universelle Überlagerung ein Riemannsches Produkt ist.

Nichtpositive Krümmung

Wenn für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung der Rang größer als 1 ist, dann ist sie entweder lokal symmetrisch oder ihre universelle Überlagerung ein Riemannsches Produkt.[1][2][3]

Eine analoge Eigenschaft gilt auch für CAT(0)-Würfelkomplexe.[4]

Nichtnegative Krümmung

Es gibt Beispiele 9-dimensionaler Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Schnittkrümmung, die höheren Rang haben, aber nicht homotopieäquivalent zu einem kompakten, lokal homogenen Raum sein können und deren universelle Überlagerung nicht als Riemannsches Produkt zerlegt werden kann.[5]

Krümmung variablen Vorzeichens

Für eine 3-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Rang größer als 1 ist, muss die universelle Überlagerung ein Riemannsches Produkt sein.[6]

Einzelnachweise

  1. ↑ Werner Ballmann: Nonpositively curved manifolds of higher rank, Ann. Math. 122, 597-609 (1985)
  2. ↑ Keith Burns, Ralf Spatzier: Manifolds of nonpositive curvature and their buildings, Publ. IHES 65, 35-59 (1987)
  3. ↑ Patrick Eberlein, Jens Heber: A differential geometric characterization of symmetric spaces of higher rank, Publ. IHES 71, 33-44 (1990)
  4. ↑ Pierre-Emmanuel Caprace, Michah Sageev: Rank rigidity for CAT(0) cube complexes, GAFA 21 (2011)
  5. ↑ R. Spatzier, M. Strake: Some examples of higher rank manifolds of nonnegative curvature, Comm. Math. Helv. 65, 299-317 (1990)
  6. ↑ R. Bettiol, B. Schmidt: Three-manifolds with many flat planes, Trans. AMS 370, 669–693 (2018)