Rand (Banachalgebra)
Ein Rand einer Banachalgebra ist eine in der mathematischen Theorie der Banachalgebren betrachtete Menge. Bei Funktionenalgebren über einer Menge handelt es sich um eine Teilmenge von , so dass jede Funktion auf dieser Teilmenge bereits ihr Maximum annimmt. Im allgemeinen Fall kommutativer Banachalgebren ist ein Rand eine entsprechende Teilmenge des Gelfand-Raums.
Motivierendes Beispiel
Es sei die Banachalgebra der stetigen Funktionen vom Einheitskreis in die komplexen Zahlen mit der Supremumsnorm . Darin betrachten wir die Diskalgebra , das ist die Unteralgebra derjenigen Funktionen aus , die im Inneren des Einheitskreises holomorph sind. Ein ist nach dem Maximumprinzip der Funktionentheorie bereits durch seine Werte auf dem Rand eindeutig bestimmt, es gilt
- .
In diesem Fall gilt es sogar
- Zu jedem gibt es ein mit .
Wir nehmen diese Tatsache zum Anlass für folgende Definitionen.
Funktionenalgebren
Es sei ein kompakter Hausdorffraum und die Banachalgebra der stetigen Funktionen . Eine uniforme Algebra über ist eine Unteralgebra , die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt für zwei verschiedene Punkte gibt es ein mit .
Ein Rand für ist eine Teilmenge , so dass
- .[1]
Funktionen aus sind bereits durch ihre Werte auf dem Rand bestimmt, denn sind mit , so ist und damit .
Die Definition lässt sich leicht auf lokalkompakte Räume verallgemeinern. Man betrachtet dann die Banachalgebra derjenigen stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, und ersetzt die Forderung, die konstanten Funktionen zu enthalten, dadurch, dass es keinen Punkt geben darf, in dem jedes den Wert 0 hat.
Kommutative Banachalgebren
Ist eine kommutative Banachalgebra mit dem Gelfand-Raum , so ist die Gelfand-Transformation ein Homomorphismus . Hat ein Einselement, so ist kompakt. Das Bild ist eine Funktionenalgebra auf . Teilmengen von , die Rand für sind, nennt man auch einfach Rand für .
Ein Rand für eine kommutative Banachalgebra bestimmt die Elemente von nur bis auf ein Element des Jacobson-Radikals. Sind nämlich mit , so folgt und daher , denn das Jacobson-Radikal ist genau der Kern der Gelfand-Transformation. Ist also halbeinfach, so verschwindet das Jacobson-Radikal und jedes Element ist eindeutig durch die Werte der Gelfand-Transformation auf einem Rand bestimmt.
Beachte: Wird eine Banachalgebra auch als Funktionenalgebra aufgefasst, so kann es zu Konflikten zwischen diesen beiden Definitionen kommen, denn ist nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von .
Bemerkungen
Für viele Überlegungen genügt es, Banachalgebren mit Einselement zu betrachten, denn nötigenfalls könnte man eines adjungieren. Im Folgenden betrachten wir daher nur Algebren mit Einselement.
Man ist natürlich an möglichst kleinen Rändern interessiert. Kleinste Ränder gibt es im Allgemeinen aber nicht, aber G. J. Schilow hat gezeigt, dass es stets einen kleinsten abgeschlossenen Rand gibt, den man daher den Schilow-Rand nennt und oft mit dem Symbol für den topologischen Rand mit bezeichnet.
Für eine Funktionenalgebra nennt man einen Peakpunkt, wenn es ein gibt mit und für alle . Definitionsgemäß sind Peakpunkte in jedem Rand enthalten. Man nennt die Menge aller Peakpunkte nach E. Bishop den Bishop-Rand und bezeichnet ihn mit , obwohl dies im Allgemeinen kein Rand ist, kann im Extremfall sogar leer sein. Für beliebige kommutative Banachalgebren setzt man
Anders ist das für den sogenannten Choquet-Rand, dessen Definition auf darstellende Maße, wie sie G. Choquet im Rahmen der heute so genannten Choquet-Theorie untersucht hat, zurückgeht. Diese mit bezeichnete Menge ist stets ein Rand. Wieder definiert man für beliebige kommutative Banachalgebren . Es gilt
und im Allgemeinen sind die Inklusionen echt. In obigem Standardbeispiel der Diskalgebra stimmen alle drei Ränder überein.
Literatur
Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6
Einzelnachweise
- ↑ Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras, Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-72475-1, Definition 3.3.1