Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies.^[1] Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen ${\displaystyle x\geq 1}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle 2x}$ mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen ${\displaystyle R_{n}}$ sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes ${\displaystyle n}$ gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)}$ die Primzahlfunktion, das heißt, ${\displaystyle \pi (x)}$ ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle x}$ sind. Dann ist die ${\displaystyle n}$‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl ${\displaystyle R_{n}}$, für die gilt:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n}$ für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen ${\displaystyle R_{n}}$, sodass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ und ${\displaystyle x}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Weil die Funktion ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})}$ nur an einer primen Stelle ${\displaystyle x}$ wachsen kann, muss ${\displaystyle R_{n}}$ eine Primzahl sein und es gilt:

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n}$

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 in OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall ${\displaystyle n=1}$ (mit ${\displaystyle R_{1}=2}$).

Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen, indem er die Ungleichung

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)>{\frac {1}{\log x}}\left({\frac {x}{6}}-3{\sqrt {x}}\right)}$

für ${\displaystyle x>300}$ ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für ${\displaystyle x\to \infty }$.

Es gilt für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle 2n\,\ln(2n)<R_{n}<4n\,\ln(4n)}$,

wobei ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet, sowie

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$,

wobei ${\displaystyle p_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Primzahl ist.

Asymptotisch gilt

${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}}$ für ${\displaystyle n\to \infty ,}$

woraus mit dem Primzahlsatz folgt:

${\displaystyle R_{n}\sim 2n\,\ln(2n)}$

Die obigen Resultate stammen von Jonathan Sondow^[2] bis auf die Ungleichung ${\displaystyle R_{n}<p_{3n}}$, die Sondow vermutete und die Shanta Laishram bewies.

Die ersten Primzahlen lauten:^[3]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … (Folge A000040 in OEIS)

Wir betrachten die beiden folgenden Eigenschaften (dabei ist ${\displaystyle \pi (x)}$ die Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle \leq x}$ und ${\displaystyle R_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Ramanujan-Primzahl):

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n}$ für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n}$

und untersuchen nun diese für die ersten ${\displaystyle x\in \mathbb {N} ,x\leq 228}$:

• J. Sondow: Ramanujan Prime. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (1919), 181–182.
2. ↑ J. Sondow: Ramanujan primes and Bertrand’s postulate. In: American Mathematical Monthly. Band 116, 2009, S. 630–635, Arxiv, pdf.
3. ↑ The first 1000 and 10000 primes