RP (Komplexitätsklasse)

RP (englisch randomized polynomial time, manchmal auch nur mit R bezeichnet) bezeichnet die Klasse der Entscheidungsprobleme, für die es einen randomisierten Algorithmus mit polynomieller Laufzeit gibt, der jede nicht zu akzeptierende Eingabe mit Wahrscheinlichkeit 1 ablehnt und für jede zu akzeptierende Eingabe eine Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 1/2 hat. Die Verwendung einer beliebigen anderen konstanten Fehlerschranke kleiner als 1 ändert nichts an der Definition der Klasse RP, durch mehrmalige Anwendung eines gegebenen RP-Algorithmus lässt sich jede beliebige Fehlerschranke erreichen.

Dieser Fehlertyp wird als einseitiger Fehler (one-sided error) bezeichnet, im Gegensatz zu dem zweiseitigen Fehler (two-sided error) bei der Komplexitätsklasse BPP.

Sie wurde 1977 mit anderen probabilistichen Komplexitätsklassen von John T. Gill eingeführt.

Definition

Eine Sprache ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ liegt genau dann in der Komplexitätsklasse ${\displaystyle {\mathcal {RP}}}$, wenn eine probabilistische Turingmaschine ${\displaystyle M}$ existiert, für die gilt:

• ${\displaystyle M}$ läuft für alle Eingaben in polynomieller Zeit
• ${\displaystyle x\in {\mathcal {L}}\Rightarrow Pr[M(x)=1]\geq {\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle x\notin {\mathcal {L}}\Rightarrow Pr[M(x)=0]=1}$

Die Konstante 1/2 ist willkürlich gewählt. Jede beliebige Konstante echt größer als 0 und weniger als 1 führt zu einer äquivalenten Definition.^[1]

Im Gegensatz zur Komplexitätsklasse ZPP wird hier gefordert, dass die Laufzeit der Turingmaschine ${\displaystyle M}$ für alle Eingaben polynomiell ist. Diese Forderung kann abgeschwächt werden, so dass wie bei ZPP nur noch gefordert wird, dass der Erwartungswert der Laufzeit durch ein Polynom beschränkt ist; die beiden Definitionen sind äquivalent.^[1]

Eigenschaften

RP ist abgeschlossen unter Vereinigung und Schnitt.^[2] Das bedeutet, dass für zwei Sprachen ${\displaystyle L_{1},L_{2}\in {\mathcal {RP}}}$ auch ${\displaystyle L_{1}\cup L_{2},L_{1}\cap L_{2}\in {\mathcal {RP}}}$. Es ist unbekannt, ob RP unter Komplementbildung abgeschlossen ist, die Komplementklasse von RP ist die Komplexitätsklasse co-RP.

Es ist kein RP-vollständiges Problem bekannt und es gibt Hinweise darauf, dass es keine RP-vollständigen Probleme gibt.^[3]

Beziehung zu anderen Komplexitätsklassen

Sowohl RP als auch co-RP liegen zwischen den Klassen ZPP (= RP ${\displaystyle \cap }$ co-RP) und BPP, es gilt also ZPP ⊆ RP ⊆ BPP und ZPP ⊆ co-RP ⊆ BPP.^[2]

Außerdem gilt RP ⊆ NP und co-RP ⊆ co-NP.^[2]

Wenn NP ⊆ BPP, dann gilt sogar NP = RP.^[4]

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Sanjeev Arora und Boaz Barak: Computational Complexity: A Modern Approach. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-42426-4, S. 133. 
2. ↑ ^{a b c} Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 195. 
3. ↑ Daniel Pierre Bovet und Pierluigi Crescenzi: Introduction to the Theory of Complexity. Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-915380-2, S. 198,202. 
4. ↑ Johannes Köbler, Uwe Schöning, Jacobo Torán: The Graph Isomorphism Problem - It's Structural Complexity. Birkhäuser, 1993, ISBN 3-7643-3680-3, S. 73. 

Literatur

• Ingo Wegener: Komplexitätstheorie (S. 31–34) ISBN 3540001611
• Köbler, Schöning, Toran: The Graph Isomorphism Problem - It's Structural Complexity (S. 68 ff.) - ISBN 3-7643-3680-3

Weblinks

• RP. In: Complexity Zoo. (englisch)