R₀-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R₀-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein R₀ zu sein, wird zu den sogenannten Trennungsaxiomen gezählt.

Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

X heißt R₀-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R₀-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.

Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• X ist ein R₀-Raum.
• Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
• Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
• Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein T₁-Raum.

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar

Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum.

Ist X ein R₀-Raum, so gilt dies auch für jeden Teilraum.

Ist (X_i) eine Familie von R₀-Räumen, so ist auch deren Produktraum ein R₀-Raum und umgekehrt.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sei die Menge der ganzen Zahlen. Für ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ sei ${\displaystyle G_{x}}$ definiert durch ${\displaystyle G_{x}=X\setminus \{x,x+1\}}$ für gerades ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle G_{x}=X\setminus \{x-1,x\}}$ für ungerades ${\displaystyle x}$. Durchläuft ${\displaystyle A}$ die endlichen Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, so bilden die Mengen ${\displaystyle U_{A}=\cap _{x\in A}G_{x}}$ eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R₀-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades ${\displaystyle x}$ sind ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle x+1}$ topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T₁-Raum ist.

• Ist ${\displaystyle (X,d)}$ ein pseudometrischer Raum, so ist dieser in Bezug auf die von der Metrik ${\displaystyle d}$ induzierte Topologie ein R₀-Raum. Für die von einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ topologisch nicht unterscheidbaren Punkte ${\displaystyle y\in X}$ gilt gerade ${\displaystyle d(x,y)=0}$.