Quotientennorm

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

Definition

Es seien ein normierter Raum und ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum definiere man

.

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem Kern

Ist ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes , so ist die Quotientenabbildung linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von ab und es ist . Die Operatornorm der Quotientabbildung ist , falls ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich .

Seien umgekehrt normierte Räume und eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von auf die offene Einheitskugel von abbildet. Dann ist stetig, surjektiv und die Isomorphie ist eine Isometrie.

Eigenschaften

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

  • Ist ein Banachraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist ein Hilbertraum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
  • Ist ein gleichmäßig konvexer Raum und ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch gleichmäßig konvex.
  • Ist eine Banachalgebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist eine C*-Algebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch eine C*-Algebra, d. h. die C*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Quotientenhalbnormen

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes wird durch eine Menge von Halbnormen erzeugt. Sei ein Unterraum. Für jedes ist die Quotientenhalbnorm eine Halbnorm auf dem Quotientenraum , wobei

.

Dann stimmt die Finaltopologie auf mit der durch die Halbnormen erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Quelle

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54