Querkraft

Die Querkraft ist in der Theorie des Balkens die Bezeichnung einer Kraft, die einerseits

• auf den Balken als senkrecht zu seiner Längsachse gerichtete Belastung wirkt,
• und die andererseits in einer Querschnittsfläche des Balkens liegt und dort dessen Beanspruchung auf Scherung darstellt.

Definition

Die Spannungsresultanten berechnen sich in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie zu ${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{x}(x)\\V_{y}(x)\\V_{z}(x)\end{pmatrix}}=\int {{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}}$ mit

• ${\displaystyle N_{x}(x)}$ der Normalkraft
• ${\displaystyle V_{y}(x)}$ der Querkraftkomponente in y-Richtung
• ${\displaystyle V_{z}(x)}$ der Querkraftkomponente in z-Richtung
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(x,y,z)={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$ dem Spannungstensor
• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ der normalen auf den Querschnitt (in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie in x-Richtung)
• ${\displaystyle A}$ der Querschnittsfläche in der verformten Lage

Die Querkraft berechnet sich somit zu ${\displaystyle \mathbf {V} (x)=\int {\begin{pmatrix}0\\\sigma _{xy}(x,y,z)\\\sigma _{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}$

Differenzialbeziehungen

In der Balkentheorie gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}$^[1][2]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)}$^[1]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}$^[1][3]
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}$

mit

• der Laufkoordinate ${\displaystyle x}$ entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$
• dem Schubmodul ${\displaystyle G}$ (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• ${\displaystyle R(x)}$ der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt ${\displaystyle R(x)=V(x)}$)
• ${\displaystyle V(x)}$ der Querkraft
• ${\displaystyle N^{II}(x)}$ die Normalkraft nach Theorie Theorie II. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
• ${\displaystyle q(x)}$ der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit^[3])
• ${\displaystyle M(x)}$ dem Biegemoment
• ${\displaystyle m(x)}$ dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit^[3])
• ${\displaystyle \varphi (x)}$ der Verdrehung
• ${\displaystyle \kappa ^{e}(x)}$ der eingeprägten Krümmung
• ${\displaystyle w(x)}$ der Durchbiegung zufolge Belastung
• ${\displaystyle w_{v}(x)}$ der Durchbiegung zufolge Vorverformung
• ${\displaystyle {\tilde {A}}(x)=\kappa \cdot A}$ der Schubfläche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).

Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung ${\displaystyle w}$ und dem Biegemoment ${\displaystyle M_{y}(x)}$ im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren Flächenlast ${\displaystyle q_{z}(x)}$ gegeben ist (Die Koordinate ${\displaystyle x}$ wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse ${\displaystyle y}$, die Koordinate ${\displaystyle z}$ verläuft in Richtung der Querkraft.):

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} Bernhard Pichler: 202.068 Baustatik 2. WS2013 Auflage. Wien 2013, VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen (Onlineplattform der TU Wien). 
2. ↑ Diese Beziehung findet sich schon 1851 in elementarer Form bei Johann Wilhelm Schwedler. Siehe Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 494.
3. ↑ ^{a b c} Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 S.).