Quantiltabelle

Eine Quantiltabelle ist eine Tabelle in der Stochastik, welche numerisch berechnete Quantile bestimmter Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält.

Quantilstabellen werden an zahlreichen Stellen in der mathematischen Statistik verwendet. So werden sie beispielsweise für die Bestimmung von Konfidenzintervallen herangezogen. Des Weiteren lassen sich bei normalverteilten Zufallsvariablen mit gegebener Varianz und gegebenem Erwartungswert über die Z-Transformation in Kombination mit der entsprechenden Quantiltabelle direkt Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Rahmenbedingungen

Ein p-Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Als p-Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf den reellen Zahlen wird eine reelle Zahl ${\displaystyle x_{p}}$ bezeichnet, so dass

${\displaystyle P((-\infty ,x_{p}])\geq p}$ und ${\displaystyle P([x_{p},+\infty ))\geq 1-p}$

ist. Hierbei ist ${\displaystyle p\in (0,1)}$. Besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine stetige Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$, so ist die äquivalent zu

${\displaystyle F(x_{p})=p}$.

Ist die Verteilungsfunktion streng monoton wachsend. so ist ${\displaystyle x_{p}}$ eindeutig bestimmt. Das p-Quantil trennt dann die reellen Zahlen in zwei Teile: der Teil kleiner als ${\displaystyle x_{p}}$, welcher die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ erhält, und der Teil größer als ${\displaystyle x_{p}}$, welcher die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-p}$ erhält.

In vielen Anwendungen der Statistik benötigt man häufig die Quantile gewisser Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zu diesen Verteilungen gehören:

• Normalverteilung
• Chi-Quadrat-Verteilung
• Student-Verteilung
• Fisher-Verteilung

Alle Quantile dieser Verteilungen sind eindeutig. Jedoch existiert für manche Verteilungen keine geschlossene Darstellung der Verteilungsfunktion (Normalverteilung) oder diese geschlossene Darstellung ist sehr komplex beziehungsweise das Lösen der Gleichung

${\displaystyle F(x_{p})=p}$

ist nicht praktikabel. Daher werden die wichtigen Quantile diese Verteilungen mit der notwendigen Genauigkeit numerisch bestimmt und in Tabellen zusammengefasst. So können sie nachgeschlagen werden, ohne jedes Mal erneut numerisch bestimmt zu werden.

Welche Werte die Tabelle genau enthält und wie viele Nachkommastellen sie enthält, hängt von der jeweiligen Verteilung ab und dem Kontext, in dem diese benötigt wird. So wird für die leicht zu normierende Normalverteilung beispielsweise nur die Standardnormalverteilung tabelliert, hierbei dann jedoch mit ${\displaystyle x_{p}}$ auf zwei Nachkommastellen genau und das entsprechende ${\displaystyle p}$ auf vier Nachkommastellen. Für die Student-Verteilung werden dagegen nur die Quantile ${\displaystyle p=0{,}9;0{,}95;0{,}99;0{,}995}$ etc. angegeben, dafür aber mit variabler Anzahl an Freiheitsgraden. Details hierzu und zur Verwendung der einzelnen Tabellen finden sich in den entsprechenden Abschnitten.

Wichtige Quantiltabellen

Nachfolgend sind einige wichtige Quantiltabellen aufgeführt. Die Auswahl der tabellierten Werte folgt dabei^[1][2][3]

Normalverteilung

Die Quantiltabelle der Normalverteilung, genauer der Standardnormalverteilung, befindet sich im Artikel Standardnormalverteilungstabelle. Dort ist auch der Umgang mit der Tabelle erklärt sowie einige Beispiele aufgeführt.

Chi-Quadrat-Verteilung

Studentsche t-Verteilung

Fisher-Verteilung

Einzelnachweise

1. ↑ Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 383–388, doi:10.1515/9783110215274. 
2. ↑ Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, S. 246–250, doi:10.1007/978-3-663-09885-0. 
3. ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 577–579, doi:10.1007/b137972.