Quadratzahl

Eine Quadratzahl oder Viereckszahl ist eine Zahl, die durch Quadrieren einer ganzen Zahl, also die Multiplikation einer solchen mit sich selbst, entsteht. Beispielsweise ist ${\displaystyle 144=12\cdot 12}$ eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS)

Einige Mathematiker sehen die Null nicht als Quadratzahl; sie beginnen diese Zahlenfolge mit der Eins.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise mit 16 Steinen ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 legen.

Aufgrund ihrer Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der Antike bekannt.^[1]

Die Quadratzahlen zählen – ebenso wie die Dreieckszahlen – insbesondere auch zu den Polygonalzahlen.^[2]

Eine Quadratzahl ${\displaystyle a^{2}}$ ist genau dann eine gerade Zahl, wenn ihre Basis ${\displaystyle a}$ gerade ist.

Bezeichnet man die Folge der Quadratzahlen mit ${\displaystyle \left(Q_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$, so hat man die folgende Rekursionsvorschrift:^[2]

${\displaystyle Q_{n}=\left\{{\begin{matrix}1&&{\text{falls }}n=1&&{\text{(Rekursionsanfang)}}\\Q_{n-1}+2\cdot n-1&&{\text{sonst}}&&{\text{(Rekursionsschritt)}}\end{matrix}}\right.}$

Jede Quadratzahl ${\displaystyle n^{2}}$ ist die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ ungeraden natürlichen Zahlen.

${\displaystyle {\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&1+3&=4&=2^{2}\\&1+3+5&=9&=3^{2}\\&1+3+5+7&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}}$

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als Odd Number Theorem bekannt,^[3] wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

${\displaystyle 0+\color {blue}1\color {black}=1}$	${\displaystyle 1+\color {blue}3\color {black}=4}$	${\displaystyle 4+\color {blue}5\color {black}=9}$	${\displaystyle 9+\color {blue}7\color {black}=16}$

Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Spalte hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen so die blauen Kugeln alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon n^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dotsb +(2n-1)}$

lässt sich induktiv beweisen. Der Induktionsanfang

${\displaystyle 1^{2}=\sum _{i=1}^{1}(2i-1)}$

folgt aus dem offensichtlichen ${\displaystyle 1^{2}=1}$ und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{1}(2i-1)=2\cdot 1-1=1.}$

Aus der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle n^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)}$

folgt wegen der binomischen Formel ${\displaystyle (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1}$ und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+2(n+1)-1=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+2n+1}$

sofort die Induktionsbehauptung

${\displaystyle (n+1)^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1).}$

Außerdem ist jede Quadratzahl ${\displaystyle n^{2}}$ die doppelte Summe der ersten ${\displaystyle n-1}$ natürlichen Zahlen plus der Zahl ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n^{2}=2\cdot \sum _{i=1}^{n-1}i+n=2\cdot {\tfrac {(n-1)\cdot n}{2}}+n=n^{2}-n+n=n^{2}}$

Beispiele:

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cdot 0+1&=1&=1^{2}\\&2\cdot 1+2&=4&=2^{2}\\&2\cdot (1+2)+3&=9&=3^{2}\\&2\cdot (1+2+3)+4&=16&=4^{2}\\&&\vdots &\end{aligned}}}$

Dies lässt sich auch leicht geometrisch veranschaulichen: In dem aus ${\displaystyle n^{2}}$ Kugeln gelegten Quadrat liegen auf einer der Diagonalen ${\displaystyle n}$ Kugeln, diesseits und jenseits von ihr je ${\displaystyle 1+2+3+\dotsb +(n-1)}$.

In der Kubikzahl ${\displaystyle a^{2}}$ ist die Basis ${\displaystyle a}$ eine reelle Zahl und der Exponent ${\displaystyle 2}$ eine positive ganze Zahl. Aus diesem Grund ist der Potenzwert von ${\displaystyle a^{2}}$ auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis ${\displaystyle a}$ größer oder kleiner als die Zahl ${\displaystyle 1}$ ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

1. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen mit Mittelpunkt ${\displaystyle A=0}$ und der Basis ${\displaystyle a={\overline {AB}}}$ als Radius.
2. Bestimme den Abstand mit der Länge ${\displaystyle =1}$ zum Punkt ${\displaystyle A}$ und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt ${\displaystyle 1}$, bis sie den Kreisbogen in ${\displaystyle B}$ schneidet.
3. Errichte eine Senkrechte zur Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Punkt ${\displaystyle B}$, bis sie die Zahlengerade in ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$ schneidet.

• 
  Konstruktion der Quadratzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$ mit Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}>1}$
• 
  Konstruktion der Quadratzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$ mit Basis ${\displaystyle {\overline {AB}}<1}$

1. Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis ${\displaystyle a}$ als Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit ${\displaystyle B=0}$.
2. Bestimme auf der Zahlengeraden ab ${\displaystyle B}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {B1}}}$ mit der Länge ${\displaystyle =1}$ und konstruiere einen Halbkreis um ${\displaystyle {\overline {B1}}}$.
3. Ziehe einen Kreisbogen um ${\displaystyle B}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, bis er den Halbkreis in ${\displaystyle C}$ schneidet.
4. Das abschließende Lot von ${\displaystyle C}$ auf die Zahlengerade liefert als Fußpunkt die Quadratzahl ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$.

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden (die sich also in der Form ${\displaystyle 10\cdot k+5}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle k}$ darstellen lassen), lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).

${\displaystyle {\underline {1}}5^{2}={\underline {2}}25}$

${\displaystyle {\underline {2}}5^{2}={\underline {6}}25}$

${\displaystyle {\underline {3}}5^{2}={\underline {12}}25}$

${\displaystyle {\underline {4}}5^{2}=[4\cdot (4+1)]25={\underline {20}}25}$

${\displaystyle [a]5^{2}=[a\cdot (a+1)]25}$

Beweis: ${\displaystyle (10\cdot k+5)^{2}=100k^{2}+100k+25=k(k+1)\cdot 10^{2}+25}$

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen ${\displaystyle \Delta _{4}=10}$ und ${\displaystyle \Delta _{5}=15}$ ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&={\frac {n(n-1)}{2}}+{\frac {(n+1)n}{2}}\\&=\Delta _{n-1}+\Delta _{n}\\\end{aligned}}}$

Jede ungerade Quadratzahl lässt sich als Nachfolger einer 8-fachen Dreieckszahl darstellen.

${\displaystyle (2n+1)^{2}=8\Delta _{n+1}+1}$

Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischem Muster erkennen lässt.

Der Term ${\displaystyle 2n^{2}+2n+1}$ für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der binomischen Formel ${\displaystyle (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1}$ so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}2n^{2}+2n+1&=n^{2}+(n^{2}+2n+1)\\&=n^{2}+(n+1)^{2}\end{aligned}}}$

Die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Quadratzahlen ergibt die ${\displaystyle n}$-te Pyramidenzahl:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dotsb +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist ${\displaystyle y}$ die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl ${\displaystyle a=10\cdot x+y}$, dann gilt für deren Quadrat

${\displaystyle a^{2}=100\cdot x^{2}+20\cdot xy+y^{2}.}$

Die letzte Ziffer von ${\displaystyle a^{2}}$ ist somit identisch mit der letzten Ziffer von ${\displaystyle y^{2}}$. Unter den zehn Quadraten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 aller Ziffern findet sich jedoch keines, das auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

Die Quadratzahlen sind um die Basis 25 herum in den beiden Endziffern symmetrisch:

${\displaystyle {\begin{aligned}&24^{2}=576;&26^{2}&=676.\\&23^{2}=529;&27^{2}&=729.\\&22^{2}=484;&28^{2}&=784.\\&21^{2}=441;&29^{2}&=841.\\&\vdots &\vdots &\end{aligned}}}$

Das erklärt sich wie folgt: Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle a}$ gilt:

${\displaystyle (25+a)^{2}-(25-a)^{2}=25^{2}+50a+a^{2}-(25^{2}-50a+a^{2})=25^{2}+50a+a^{2}-25^{2}+50a-a^{2}=100a.}$

Da die Differenz also ein Vielfaches von ${\displaystyle 100}$ ist, sind die beiden Endziffern gleich.

Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass ${\displaystyle 0,1,4,5,6,9}$ die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo ${\displaystyle 10}$ repräsentieren. Auch für andere Zahlen ${\displaystyle n}$ sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo ${\displaystyle n}$ immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für ${\displaystyle n=11}$ sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen ${\displaystyle 0,1,3,4,5,9}$. Insbesondere sind ${\displaystyle 0,1}$ die Restklassen sowohl der Quadrate modulo ${\displaystyle 3}$ als auch modulo ${\displaystyle 4}$ und ${\displaystyle 0,1,4}$ sind die Restklassen der Quadrate modulo ${\displaystyle 8}$. Daraus folgt beispielsweise sowohl, dass ${\displaystyle 3}$ keine Restklasse der Summe zweier Quadratzahlen modulo ${\displaystyle 4}$ ist, als auch, dass ${\displaystyle 7}$ keine Restklasse der Summe dreier Quadratzahlen modulo ${\displaystyle 8}$ ist.

In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle.

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle A=\{d\in \mathbb {N} \mid d^{2}\leq n,d|n\}}$ und ${\displaystyle B=\{d\in \mathbb {N} \mid n\leq d^{2},d|n\}}$. Es ist ${\displaystyle |A|=|B|}$, denn ${\displaystyle \textstyle B=\{{\frac {n}{d}}\mid d\in A\}}$. ${\displaystyle A\cup B}$ enthält alle Teiler von ${\displaystyle n}$, also ist die Anzahl der Teiler von ${\displaystyle n}$ gleich ${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=2|A|-|A\cap B|}$. Ist ${\displaystyle n}$ eine Quadratzahl, so ist ${\displaystyle A\cap B=\{{\sqrt {n}}\}}$. Andernfalls ist ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$.

Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

Mit der Dreieckszahl gilt die Identität: ${\displaystyle n^{2}+(n+1)^{2}=4\cdot \Delta _{n}+1}$.

Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{2}+4^{2}&=5^{2}\\10^{2}+11^{2}+12^{2}&=13^{2}+14^{2}\\21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}&=25^{2}+26^{2}+27^{2}\\36^{2}+37^{2}+38^{2}+39^{2}+40^{2}&=41^{2}+42^{2}+43^{2}+44^{2}\end{aligned}}}$

oder allgemein

${\displaystyle \sum _{k=2n^{2}+n}^{2n^{2}+2n}k^{2}=\sum _{k=2n^{2}+2n+1}^{2n^{2}+3n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\cdot (12n^{2}+12n+1)}$

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

• ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}=5}$

${\displaystyle 2^{2}+3^{2}=13}$

${\displaystyle 4^{2}+5^{2}=41}$

${\displaystyle \vdots }$

(Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS)

• ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle 2^{2}+3^{2}+4^{2}=29}$

${\displaystyle 6^{2}+7^{2}+8^{2}=149}$

${\displaystyle 12^{2}+13^{2}+14^{2}=509}$

${\displaystyle \vdots }$

(Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS)

• ${\displaystyle n=6}$:

${\displaystyle 2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=139}$

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}=199}$

${\displaystyle 4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=271}$

${\displaystyle \vdots }$

(Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS)

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). Dritte, vollständig überarbeitet Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1996, ISBN 3-540-60920-2. 
• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg / Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155). 
• Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und Algebra. 6. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, doi:10.1007/978-3-662-48774-7. 

• Vier-Quadrate-Satz
• Kubikzahl
• Polygonalzahl

Commons: Square numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Quadratzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eintrag Quadratzahl im Lexikon der Mathematik (2017)

1. ↑ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143.
2. ↑ ^{a b} Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und Algebra, 2016, S. 90ff.
3. ↑ Eric W. Weisstein: Odd Number Theorem. In: MathWorld (englisch).