Quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=p_{1}\cdots p_{k}}$ einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·3²·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Folge A005117 in OEIS)

Eigenschaften

Die Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu (n)}$ an der Stelle ${\displaystyle n}$ ist genau dann ungleich 0, wenn ${\displaystyle n}$ quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl ${\displaystyle n}$ ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\,\%}$, wobei ${\displaystyle \zeta }$ die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ gegen ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}}$.

Allgemeine Definition

Ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x}$ eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung ${\displaystyle x=\varepsilon \cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}}$ (wobei ${\displaystyle \varepsilon }$ eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten ${\displaystyle \alpha _{i}}$ gleich 1 sind.

Es sei ${\displaystyle P(x)\in K[X]}$ und ${\displaystyle P'(x)}$ die formale Ableitung, dann ist ${\displaystyle P(x)}$ quadratfrei, wenn ${\displaystyle {\text{ggT}}(P(x),P'(x))=1}$ ist. Somit ist für beliebiges ${\displaystyle P(x)}$ das Polynom ${\displaystyle P(x)/{\text{ggT}}(P(x),P'(x))}$ immer quadratfrei.

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-18078-1. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Quadratfreie Zahl. In: MathWorld (englisch).