Quadrat

Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Es hat vier gleichlange Seiten und vier rechte Winkel. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks, der Raute, des Parallelogramms, des Trapezes und des Drachenvierecks. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonalen.

Quadrate sind die Seitenflächen eines platonischen Körpers, nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem Grundform einer platonischen Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften

Für das Quadrat gilt:

Das Quadrat kann charakterisiert werden als:

  • Rechteck mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
  • Raute mit zwei benachbarten gleichen Winkeln
  • Raute mit einem rechten Winkel
  • Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und zwei benachbarten gleichen Winkeln
  • Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und einem rechten Winkel
  • Viereck mit gleichlangen, orthogonalen Diagonalen, die sich halbieren

Formeln

Mathematische Formeln zum Quadrat
Flächeninhalt

4-eck(png).svg

Umfang
Länge der Diagonalen
Inkreisradius
Umkreisradius
Innenwinkel

Konstruktion

Das Quadrat ist ein mit Zirkel und Lineal konstruierbares regelmäßiges Polygon.

Konstruktion mit gegebener Seitenlänge

Konstruktion bei gegebener Seite, kommt mit einer einzigen Zirkeleinstellung (Radius = a) aus
  1. Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B.
  2. Ziehe um Ende A einen Kreisbogen (c1, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius.
  3. Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c2, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M.
  4. Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mindestens doppelt so lang wie BM)
  5. Zeichne einen Thaleskreis (ct) um M durch B. Man erhält Punkt E.
  6. Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c1 ist Ecke D des späteren Quadrats.
  7. Ziehe um D der einen Kreisbogen (c3) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c2 ist Ecke C.
  8. Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

Konstruktion mit gegebener Diagonale

Konstruktion bei gegebener Diagonale
  1. Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C.
  2. Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M.
  3. Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D.
  4. Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

Animationen

Quadrat mit gegebener Seitenlänge nutzt den Thaleskreis. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt M, AnimationQuadrat mit gegebener Diagonale, Animation
Quadrat mit gegebener Seitenlänge nutzt den Thaleskreis. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt M, Animation
Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation

Parkettierungen mit Quadraten

Einige platonische und archimedische Parkettierungen enthalten Quadrate. Diese Parkettierungen sind periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthalten ausschließlich regelmäßige Polygone.

Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele Ecken die regelmäßigen Polygone haben, die jeweils an einem Punkt zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°.

Polyeder mit Quadraten

Der Würfel ist der einzige platonischen Körper, der quadratische Seitenflächen hat. Auch einige archimedische Körper enthalten Quadrate, zum Beispiel das Kuboktaeder, der Oktaederstumpf, das Rhombenkuboktaeder und das Rhombenikosidodekaeder.

Verallgemeinerungen

In der euklidischen Geometrie ist das Quadrat der zweidimensionale Spezialfall von Hyperwürfel und Kreuzpolytop.

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

In nichteuklidische Geometrien sind Quadrate allgemein Polygone mit 4 gleich langen Seiten und gleichen Innenwinkeln.

In der sphärischen Geometrie ist ein Quadrat ein Polygon, dessen Seiten Großkreise sind, die sich im gleichen Winkel schneiden. Anders als bei Quadraten der ebenen Geometrie sind die Winkel eines sphärischen Quadrats größer als ein rechter Winkel. Größere sphärische Quadrate haben größere Winkel.

In der hyperbolischen Geometrie existieren keine Quadrate mit rechten Winkeln. Stattdessen haben Quadrate Winkel, die kleiner als ein rechter Winkel sind. Größere hyperbolische Quadrate haben kleinere Winkel.

Verallgemeinerungen des Quadrats
Geometriesphärische Geometriesphärische Geometrieeuklidische Geometriehyperbolische Geometrie
Innenwinkel180°120°90°72°
Schäfli-Symbol{4, 2}{4, 3}{4, 4}{4, 5}
Anzahl der Quadrate in der Parkettierung26unendlichunendlich
Tetragonal dihedron.svgSquare on sphere.svgSquare on plane.svgSquare on hyperbolic plane.png

Lateinisches Quadrat

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit n Reihen und Spalten, wobei jedes Feld mit einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Beispiele

Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat der Kantenlänge 3

Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ist eine quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen 1, 2, …, n², bei der die Summen der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich sind. Diese Summe wird als die magische Zahl des magischen Quadrates bezeichnet.

Quadratur des Quadrates

Einfache, perfekte Quadratur des Quadrates der geringstmöglichen Ordnung (21)

Die Quadratur des Quadrates ist die Parkettierung eines gegebenen Quadrates mit kleineren Quadraten, deren Seitenlängen ganzzahlige Werte haben. Interessant und anspruchsvoll wird die Aufgabenstellung durch folgende Zusatzbedingungen:

  • Keine zwei Teilquadrate sollen die gleiche Größe haben. Eine Quadrat-Parkettierung, die diese Bedingung erfüllt, heißt perfekt.
  • Wenn eine Teilmenge der Teilquadrate ein Rechteck bildet, heißt die Quadratur zusammengesetzt, andernfalls einfach.

Quadratur des Kreises

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl aus der Strecke 1. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von unlösbar. Dies konnte 1882 von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Weblinks

Commons: Quadrate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien

Auf dieser Seite verwendete Medien

Squaring the square.svg
The lowest-order perfect squared square, discovered by A.J.W. Duijvestijn
Construction square from side.svg
(c) Telling the Author: User Antonsusi from the German Wikipedia, CC BY 3.0 de
Konstruktion des regelmäßigen Vierecks (Quadrat) bei gegebener Seite.
Rhombicuboctahedron.jpg
Autor/Urheber: unknown, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Semiregular Tiling 3-4-6-4 (Small Rhombitrihexagonal)
Squaring the circle.svg
Illustrates the dimensions required for squaring a unit circle, which would require a square with side lengths equal to the squareroot of pi. Plynn9 authored it to improve the current illustration in the "Squaring the Circle" wikipedia article, which lacks dimensions. I made a vector version of the image.
Tiling Semiregular 3-3-4-3-4 Snub Square.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Semiregular Tiling 3-3-4-3-4 (Snub Square)
Hexahedron.svg
Autor/Urheber: !Original: Kjell AndréVektor: DTR, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Cube.
Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Semiregular Tiling 3-3-3-4-4 (Elongated Triangular)
Magicsquareexample.svg
Example of a Magic Square
Square on hyperbolic plane.png
KaleidoTile; Topology and and Geometry Software, Jeff Weeks; Square from Order-5 square tiling
Truncatedoctahedron.jpg
Autor/Urheber: unknown, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
SquareDefinition.svg
Ein einfaches Quadrat mit den minimalen Definitionen: Ein Rechter Winkel und die Länge einer Seite (a) oder einer Diagonale (d).
Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Semiregular Tiling 4-8-8 (Truncated Square)
Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Semiregular Tiling 4-6-12 (Great Rhombitrihexagonal)
Rhombicosidodecahedron.jpg
Autor/Urheber: unknown, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Tiling Regular 4-4 Square.svg
Autor/Urheber: R. A. Nonenmacher, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Regular Tiling 4-4 (Square)
Construction square from diagonal.svg
(c) Telling the Author: User Antonsusi from the German Wikipedia, CC BY 3.0 de
Konstruktion des regelmäßigen Vierecks (Quadrat) bei gegebener Diagonale.
01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif
Autor/Urheber: Petrus3743, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Quadrat bei gegebener Diagonale als Animation
4-eck(png).svg
Autor/Urheber: original by Petflo2000, svg new by Petrus3743, because of lettering "Umkreis", Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Quadrat mit Inkreis und Umkreis; SVG-Version von File:4-eck.png
01-Quadrat-Seite-gegeben.gif
Autor/Urheber: Petrus3743, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Quadrat bei gegebener Seitenlänge als Animation
Tetragonal dihedron.svg
Autor/Urheber: Apocheir, Lizenz: CC0
Tetragonal dihedron {4,2
Cuboctahedron.svg
Autor/Urheber: w:en:User:Cyp, Lizenz: CC-BY-SA-3.0
Inkscape-ws.svg Diese W3C-unbestimmte Vektorgrafik wurde mit Inkscape erstellt .