Pythagoreische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl^[1] (vom englischen pythagorean prime) eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ der Form ${\displaystyle p=4n+1}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl). Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl, so heißt sie nicht-pythagoreische Primzahl.

Beispiele

• Die kleinsten pythagoreischen Primzahlen sind die folgenden:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, … (Folge A002144 in OEIS)

Eigenschaften

• Jede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden.

Beweis:

Der Beweis folgt direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten. Gelegentlich nennt man diesen Satz auch Girard’s Theorem.^[2]

Beispiel:

${\displaystyle 41=4^{2}+5^{2}}$, ${\displaystyle 101=1^{2}+10^{2}}$, …

• Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:

Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoreische Primzahl.

Beweis:

Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:

Für das Quadrat einer geraden Zahl ${\displaystyle n:=2k}$ mit ${\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} }$ gilt: ${\displaystyle n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}\equiv 0{\pmod {4}}}$.

Für das Quadrat einer ungeraden Zahl ${\displaystyle m:=2k+1}$ mit ${\displaystyle m,k\in \mathbb {Z} }$ gilt: ${\displaystyle m^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1{\pmod {4}}}$.

Für ungerade Primzahlen ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ gilt: ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ (für pythagoreische Primzahlen) oder ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ (für nicht-pythagoreische Primzahlen).

Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer ${\displaystyle \equiv 0{\pmod {4}}}$, ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ oder ${\displaystyle \equiv 2{\pmod {4}}}$, aber niemals ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}}$. Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ übrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen. ${\displaystyle \Box }$

• Für jede pythagoreische Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$, welches ganzzahlige Kathetenlängen hat.^[3]

Die pythagoreische Primzahl ${\displaystyle p=5}$ und seine Quadratwurzel als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken und wie man aus dem kleinen Dreieck das große berechnen kann

Beweis:

Siehe Satz des Pythagoras

• Ist die Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist ${\displaystyle p}$ eine pythagoreische Primzahl und größter Teil eines pythagoreischen Tripels.
• Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen.

Beweis:

Siehe Dirichletscher Primzahlsatz

Das Primrennen zwischen 4n+1 und 4n+3

Sei ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$. Dann gilt:

Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen (der Form ${\displaystyle 4n+1}$) bis ${\displaystyle x}$ ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoreischen Primzahlen (der Form ${\displaystyle 4n+3}$) bis ${\displaystyle x}$. Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis ${\displaystyle x}$ oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch Chebyshev’s bias (en) und stammt vom Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow.^[4][5]

Beispiele

• Bis ${\displaystyle x=600000}$ gibt es nur zwei Zahlen, unter denen mehr pythagoreische Primzahlen (der Form ${\displaystyle 4n+1}$) als nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen (der Form ${\displaystyle 4n+3}$) existieren, nämlich ${\displaystyle 26861}$ und ${\displaystyle 26862}$. Zwischen ${\displaystyle 26863}$ und ${\displaystyle 26878}$ sind es gleich viele und ab ${\displaystyle 26879}$ gibt es wieder mehr nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen.
• Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ pythagoreische Primzahlen gegen nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen stattfindet (auf englisch Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader):

3, 26861, 26879, 616841, 617039, 617269, 617471, 617521, 617587, 617689, 617723, 622813, 623387, 623401, 623851, 623933, 624031, 624097, 624191, 624241, 624259, 626929, 626963, 627353, 627391, 627449, 627511, 627733, 627919, 628013, 628427, 628937, 629371, … (Folge A007350 in OEIS)

Zusammenhang mit Gaußschen Primzahlen

Die Norm einer Gaußschen Zahl der Form ${\displaystyle x+\mathrm {i} \cdot y}$ ist ${\displaystyle \|x+\mathrm {i} \cdot y\|=x^{2}+y^{2}}$. Es gilt:

• Eine pythagoreische Primzahl (inklusive der Primzahl ${\displaystyle p=2}$) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoreische Primzahlen können das nicht.
• Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der Realteil ${\displaystyle x}$ und der Imaginärteil ${\displaystyle y}$ ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge ${\displaystyle p}$.

Beweis:

Es kann jede pythagoreische Primzahl ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ zerlegt werden in ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}=(x+\mathrm {i} \cdot y)\cdot (x-\mathrm {i} \cdot y)}$.

• Vergleiche dazu auch die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis.

Quadratische Reste

• Seien ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei mindestens eine der beiden eine pythagoreische Primzahl sein soll. Dann gilt:^[6]

${\displaystyle p}$ ist quadratischer Rest modulo ${\displaystyle q}$ genau dann, wenn ${\displaystyle q}$ quadratischer Rest modulo ${\displaystyle p}$ ist.

Mit anderen Worten:

Seien ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2,q>2,p\not =q}$ und ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$. Dann gilt mit dem Legendre-Symbol:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=1\Longleftrightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)=1}$

Beispiel:

Sei ${\displaystyle p=37\equiv 1{\pmod {4}}}$ und ${\displaystyle q=47\equiv 3{\pmod {4}}}$. Dann ist ${\displaystyle 15^{2}=225\equiv 37{\pmod {47}}}$ und somit ist ${\displaystyle 37}$ quadratischer Rest modulo ${\displaystyle 47}$. Umgekehrt ist ${\displaystyle 11^{2}=121\equiv 84\equiv 47\equiv 10{\pmod {37}}}$ und somit ist ${\displaystyle 47}$ quadratischer Rest modulo ${\displaystyle 37}$.

• Seien ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei beide nicht-pythagoreische Primzahlen sein sollen. Dann gilt:^[6]

${\displaystyle p}$ ist quadratischer Rest modulo ${\displaystyle q}$ genau dann, wenn ${\displaystyle q}$ kein quadratischer Rest modulo ${\displaystyle p}$ ist.

Mit anderen Worten:

Seien ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2,q>2,p\not =q}$ und ${\displaystyle p,q\equiv 3{\pmod {4}}}$. Dann gilt:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=1\Longleftrightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)=-1}$

Beispiel:

Sei ${\displaystyle p=47\equiv 3{\pmod {4}}}$ und ${\displaystyle q=43\equiv 3{\pmod {4}}}$. Dann ist ${\displaystyle 41^{2}=1681\equiv 47\equiv 4{\pmod {43}}}$ und somit ist ${\displaystyle 47}$ quadratischer Rest modulo ${\displaystyle 43}$. Umgekehrt gibt es aber kein ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x^{2}\equiv 43{\pmod {47}}}$ und somit ist ${\displaystyle 43}$ kein quadratischer Rest modulo ${\displaystyle 47}$.

Siehe auch

• Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Weblinks

• Laurence Eaves: 5, 13 and 137 are Pythagorean Primes. Numberphile, abgerufen am 27. Juni 2018. 
• Pythagorean Prime. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
2. ↑ Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume II: Diophantine Analysis, Chapter VI. Carnegie Institution of Washington, Publication No. 256, Vol. II, S. 228 (englisch); Textarchiv – Internet Archive.
3. ↑ John Stillwell: Elements of Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, 2003, S. 112, abgerufen am 28. Juni 2018 (englisch). 
4. ↑ Eric W. Weisstein: Chebyshev Bias. In: MathWorld (englisch).
5. ↑ Michael Rubinstein, Peter Sarnak: Chebyshev’s bias. In: Experimental Mathematics, 1994, 3 (3), S. 173–197; projecteuclid.org (PDF) abgerufen am 28. Juni 2018.
6. ↑ ^{a b} math.uni-bielefeld.de (PDF; 117 kB) Universität Bielefeld