Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers ${\displaystyle F}$ ist definiert als das kleinste ${\displaystyle p(F)\in \mathbb {N} }$, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in ${\displaystyle F}$ schon als Summe von ${\displaystyle p(F)}$ Quadraten schreiben lässt.^[1]

Definition

Für einen Körper ${\displaystyle F}$ sei

${\displaystyle \sum F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}}$

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

${\displaystyle \sum ^{k}F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\leq k,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}}$

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in ${\displaystyle F}$, die höchstens Länge ${\displaystyle k}$ haben. Offensichtlich gilt ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}\subseteq \sum F^{2}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Unklar ist dagegen, ob immer ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ existiert, so dass ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}}$. Als Pythagoraszahl von ${\displaystyle F}$ bezeichnen wir die folgende Größe:

${\displaystyle p(F):=\min \left\{k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}\;{\Big |}\;\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}\right\}}$

wobei ${\displaystyle p(F)=\infty }$ genau dann, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum ^{k}F^{2}\varsubsetneq \sum F^{2}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gilt. Es ist stets ${\displaystyle p(F)\geq 1}$.

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ ein ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$, so dass ${\displaystyle a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=b^{2}}$. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {R} )=1}$. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {C} )=1}$.
3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} )=4}$, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls ${\displaystyle F}$ nicht-reeller Körper ist, (das heißt ${\displaystyle -1\in \sum F^{2}}$,) lässt sich die Pythagoraszahl von ${\displaystyle F}$ abschätzen durch die Stufe ${\displaystyle s(F)}$ von ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1}$

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Falls ${\displaystyle F}$ ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade^[2], nach dem für einen beliebigen Körper ${\displaystyle F}$ mit ${\displaystyle {\text{char}}(F)>0}$ gilt, dass ${\displaystyle s(F)\leq 2}$ (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass ${\displaystyle p(F)\leq 3}$.

Ganz exakt kann man im Fall ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ werden, wo ${\displaystyle q}$ eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz ${\displaystyle p(\mathbb {F} _{q})=2}$ für alle ${\displaystyle q=p^{n}}$ wo ${\displaystyle p>2}$ prim und ${\displaystyle n>0}$ ist.

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei ${\displaystyle F/\mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter ${\displaystyle d={\text{trdeg}}(F)}$ der Transzendenzgrad von ${\displaystyle F}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle p(F)\leq 2^{d+2}}$ für alle ${\displaystyle d}$ gilt.

Wegen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} )=4}$ ist diese Abschätzung scharf für ${\displaystyle d=0}$.

Für ${\displaystyle d=1}$ wurde bisher ${\displaystyle p(F)\leq 6}$ gezeigt^[3]. Vermutlich gilt aber sogar ${\displaystyle p(F)\leq 5}$, was dann wegen ${\displaystyle p(\mathbb {Q} (t))=5}$ eine scharfe Abschätzung wäre.^[4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von ${\displaystyle p(F)\leq 2^{d+2}}$ findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch

• Pythagoreischer Körper

Weblinks

Wikibooks: einige Beweise zur Pythagoraszahl – Lern- und Lehrmaterialien

• Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern

Einzelnachweise

1. ↑ Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
2. ↑ A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
3. ↑ Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
4. ↑ Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971